Физтех 2025/26 · Физика · 10 кл., №8 — решение · Отборочный этап

Условие

В двух одинаковых баллонах, соединенных тонкой трубкой, находится идеальный газ. В первом баллоне абсолютную температуру увеличивают в $n = 2{,}0$ раза, во втором баллоне абсолютную температуру поддерживают прежней.

На сколько процентов уменьшится число молекул газа в первом баллоне? В ответе укажите целое число без знака %.

О задаче · 10 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Отборочный этап, первый тур (1 попытка)
Предмет / класс: Физика · 10 класс
Сезон: 2025/26

Что одинаково в двух соединённых баллонах после нагрева? Что не меняется во всей системе? Запиши уравнение состояния для каждого баллона. В модели можно нагревать первый баллон и считать молекулы.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеНагреть баллон

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Нагреть баллон

Нагрей первый баллон в n раз. Сколько молекул в нём останется? На сколько процентов стало меньше?

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Подсказка для решения без модели

Без JavaScript модель не работает. Раздели 100 молекул так, чтобы в горячем баллоне их было вдвое меньше, чем в холодном: 33 и 67.

Подсказка 1

Баллоны соединены трубкой — давления в них одинаковы. Объёмы тоже одинаковы. Из $p=nkT$ (здесь $n$ — концентрация) следует $N_1T_1=N_2T_2$ в горячем баллоне молекул меньше.

Подсказка 2

Вначале в баллонах по $N/2$ молекул. После нагрева $N_1\cdot 2T=N_2\cdot T$ и $N_1+N_2=N$ Найди $N_1$ и сравни с $N/2$

Разобрать решение по шагам

Равенство давлений

Баллоны соединены трубкой, поэтому давления в них одинаковы и до, и после нагрева. Объёмы одинаковы. Уравнение состояния $pV=NkT$ для каждого баллона:

N_1kT_1=pV=N_2kT_2\quad\Rightarrow\quad N_1T_1=N_2T_2.

Вначале температуры равны, значит, молекул поровну: по $\dfrac{N}{2}$ где $N$ — общее число молекул.

После нагрева

Теперь $T_1=nT$ $T_2=T$ Общее число молекул не меняется:

N_1\cdot nT=N_2T,\qquad N_1+N_2=N\quad\Rightarrow\quad N_1=\frac{N}{n+1}.

На сколько процентов

\frac{\dfrac N2-\dfrac{N}{n+1}}{\dfrac N2}=1-\frac{2}{n+1}=\frac{n-1}{n+1}=\frac{1}{3}\approx 33\ \%.

Проверка

При $n=2$ в первом баллоне $\dfrac N3$ во втором $\dfrac{2N}{3}$ — вдвое больше, а температура первого вдвое выше, давления равны. Число $\dfrac{N}{2}$ превратилось в $\dfrac N3$ уменьшение на треть. При сильном нагреве ( $n\to\infty$ ) почти все молекулы уходят во второй баллон, и уменьшение стремится к $100\ \%$

Ответ

$\dfrac{n-1}{n+1}\cdot 100\ \%\approx 33$ .

Ответ

$\dfrac{n-1}{n+1}\cdot 100\ \%\approx 33$ .

Главная идея

В соединённых сосудах давление общее; при равных объёмах число молекул обратно пропорционально температуре. Общее число молекул сохраняется.

Сосуды соединены трубкой — пиши равенство давлений и сохранение общего количества газа.

Где легко ошибиться

Считать, что при нагреве в $2$ раза молекул становится вдвое меньше ( $50\ \%$ ). Молекулы уходят во второй баллон, и там их становится больше — отношение $N_2/N_1=2$ а не $N_1$ к начальному.

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · физика · 10 класс · 2025/26 · отборочный этап, первый тур (1 попытка). Задача 8, версия с ID 4643 — первая в официальном файле; другие числовые версии этого номера (ID 4644, 4645, 4646) можно выбрать в модели.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 11) ↗ · Сайт олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение написано до знакомства с решением организатора; затем ответ совпадает с решением организатора («Решения Ф10 1 попытка 2025», стр. 2 ↗: PV = νRT; P̃V = ν1·R·nT, P̃V = ν2·RT ⇒ ν2 = nν1, ν1 + ν2 = 2ν ⇒ ν1 = 2ν/(n + 1); δ = (ν − ν1)/ν·100% = (n − 1)/(n + 1)·100%).

Продолжить тему: Газы и термодинамика →

Тема, знания и приёмы

Газы и термодинамика · Нужна школьная база

Уравнение состояния идеального газа
Равенство давлений в соединённых сосудах

Приёмы решения: Баланс сохраняемой величины

Задать вопрос по задаче →