Физтех 2025/26 · Физика · 10 кл., №1 — решение · Отборочный этап

Условие

Корабль, движущийся равномерно по прямой, отстреливает одновременно две торпеды. Первая торпеда движется прямо по курсу корабля, вторая движется под углом $\alpha = 120^\circ$ к прямой, по которой движется корабль. Скорость роста расстояния между второй торпедой и кораблем в $n = 1{,}8$ раза больше скорости роста расстояния между первой торпедой и кораблем. Торпеды движутся по прямым с одинаковой по модулю скоростью.

Найдите отношение модуля скорости торпед к модулю скорости корабля. Ответ приведете с округлением до целых.

О задаче · 10 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Отборочный этап, первый тур (1 попытка)
Предмет / класс: Физика · 10 класс
Сезон: 2025/26

Расстояние между кораблём и торпедой растёт равномерно — почему? Перейди в систему отсчёта корабля: с какой скоростью в ней движется каждая торпеда? В модели можно подбирать отношение скоростей и смотреть, как растут расстояния.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеПодобрать скорость торпед

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Подобрать скорость торпед

При каком отношении скоростей торпед и корабля второе расстояние растёт в n раз быстрее первого? Сколько таких отношений?

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Подсказка для решения без модели

Без JavaScript модель не работает. Нарисуй векторы v и u под углом 120° и найди длину их разности по теореме косинусов для k = 2, 3, 4.

Подсказка 1

В системе корабля каждая торпеда движется равномерно по прямой из одной точки, поэтому расстояние растёт со скоростью, равной модулю относительной скорости $\vec v-\vec u$ Для первой торпеды это $|v-u|$ она может как обгонять корабль, так и отставать от него.

Подсказка 2

Для второй по теореме косинусов $|\vec v-\vec u|^2=v^2+u^2-2vu\cos\alpha$ . Обозначь $k=v/u$ и получи квадратное уравнение $k^2+1-2k\cos\alpha=n^2(k-1)^2$ . Его корни взаимно обратны; оба удовлетворяют условию буквально, для торпед естественен тот, где $k>1$

Разобрать решение по шагам

Принятые допущения

Угол $\alpha=120^\circ$ отсчитывается от направления движения корабля (угол больше $90^\circ$ иначе не имел бы смысла для угла с прямой): вторая торпеда уходит назад-вбок.
Скорости торпед даны относительно воды (берега). Уравнение задачи имеет два взаимно обратных корня, и оба буквально удовлетворяют условию: $k\approx3{,}007$ (торпеды быстрее корабля) и $k\approx0{,}333$ (торпеды медленнее, первая отстаёт от корабля, расстояние до неё тоже растёт). Ответ $3$ дан для естественного для торпед случая $v>u$ второй корень при округлении даёт $0$

Скорость роста расстояния — это относительная скорость

Пусть $u$ — скорость корабля, $v$ — скорость торпед. Перейдём в систему отсчёта корабля. В ней каждая торпеда движется с постоянной скоростью $\vec v-\vec u$ по прямой, выходящей из корабля. Поэтому расстояние до неё растёт равномерно со скоростью $|\vec v-\vec u|$

Первая торпеда движется по курсу: $|\vec v_1-\vec u|=|v-u|$ — это $v-u$ если торпеды быстрее корабля, и $u-v$ если медленнее (тогда она отстаёт).

Вторая торпеда: теорема косинусов

Угол между $\vec v_2$ и $\vec u$ равен $\alpha$ поэтому

|\vec v_2-\vec u|^2=v^2+u^2-2vu\cos\alpha.

Условие задачи: $|\vec v_2-\vec u|=n|v-u|$ Возведём в квадрат, разделим на $u^2$ и обозначим $k=\dfrac{v}{u}$

k^2+1-2k\cos\alpha=n^2(k-1)^2.

Решаем квадратное уравнение

При $\cos 120^\circ=-\dfrac12$ и $n^2=3{,}24$

k^2+k+1=3{,}24(k^2-2k+1)\quad\Rightarrow\quad 2{,}24k^2-7{,}48k+2{,}24=0\quad\Rightarrow\quad k^2-\frac{7{,}48}{2{,}24}k+1=0.

Свободный член равен $1$ значит, корни взаимно обратны: $k_1k_2=1$

k_{1,2}=\frac{3{,}339\pm\sqrt{3{,}339^2-4}}{2}\approx\frac{3{,}339\pm2{,}674}{2},\qquad k_1\approx3{,}007,\quad k_2\approx0{,}333.

Оба корня удовлетворяют исходному условию: при $k_2$ торпеды втрое медленнее корабля, первая отстаёт от него, и расстояния по-прежнему растут в отношении $1{,}8$ Чтобы получить официальный ответ, дополнительно выбираем ветвь $v>u$ с округлением до целых $3$ Само условие не исключает ветвь $v<u$ её корень дал бы $0$

Проверка

Возьмём $u=1$ $v=3{,}007$ Первое расстояние растёт со скоростью $2{,}007$ второе — со скоростью $\sqrt{3{,}007^2+1+3{,}007}=\sqrt{13{,}049}\approx 3{,}612$ . Отношение $3{,}612/2{,}007\approx 1{,}80$ — как в условии. Второй корень $v=0{,}333$ первое расстояние растёт со скоростью $0{,}667$ (корабль уходит от торпеды), второе — $\sqrt{0{,}111+1+0{,}333}\approx1{,}202$ , отношение тоже $1{,}80$ Официальные указания к решению дают $\dfrac{V_2}{V_1}=p\pm\sqrt{p^2-1}$ , $p=\dfrac{n^2-\cos\alpha}{n^2-1}$ , то есть те же два корня; ответ $3$ отвечает знаку «плюс».

Ответ

$\dfrac{v}{u}\approx 3{,}007\approx 3$ (при $v>u$ второй корень $0{,}333$ отвечает торпедам медленнее корабля).

Ответ

$\dfrac{v}{u}\approx 3{,}007\approx 3$ (при $v>u$ второй корень $0{,}333$ отвечает торпедам медленнее корабля).

Главная идея

Тела, вылетевшие из одной точки с постоянными скоростями, удаляются друг от друга равномерно со скоростью, равной модулю их относительной скорости. Дальше — теорема косинусов.

Если спрашивают о скорости роста расстояния между равномерно движущимися телами, стартовавшими из одной точки, переходи в систему одного из них.

Где легко ошибиться

Брать угол $60^\circ$ вместо $120^\circ$ (получится $k\approx 1{,}9$ ) или складывать скорости как числа: $v+u$ для второй торпеды. Ещё одна ошибка — не заметить, что корней два, и не сказать, какой и почему выбран.

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · физика · 10 класс · 2025/26 · отборочный этап, первый тур (1 попытка). Задача 1, версия с ID 4615 — первая в официальном файле; другие числовые версии этого номера (ID 4616, 4617, 4618) можно выбрать в модели.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 1) ↗ · Сайт олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение написано до знакомства с решением организатора; затем ответ совпадает с решением организатора, с уточнением («Решения Ф10 1 попытка 2025», стр. 1 ↗: V₂/V₁ = p + √(p² − 1), p = (n² − cos α)/(n² − 1) ≈ 3,007 → 3). Официальные указания записывают только корень со знаком «плюс» (торпеда быстрее корабля). На странице показан и второй корень p − √(p² − 1) — торпеда медленнее корабля; ответ 3 дан при v > u; прочтение угла от направления движения корабля — наше, оно подтверждается почти целыми ответами всех версий.

Продолжить тему: Кинематика →

Тема, знания и приёмы

Кинематика · Начальный вход

Относительная скорость
Теорема косинусов
Квадратное уравнение, теорема Виета

Приёмы решения: Относительное движение

Задать вопрос по задаче →