Физика · 10 класс · Физтех 2025/26 · первый тур

Задача 10. Осколки фейерверка

Условие

Находящийся на горизонтальной площадке фейерверк разорвался на множество осколков, два из которых летят с одинаковой по модулю начальной скоростью и падают на площадку в одной и той же точке. Угол между векторами начальных скоростей осколков был таков, что в процессе полета расстояние между этими осколками достигло наибольшего возможного в таком «эксперименте» значения равного d=31d = 31 м. Ускорение свободного падения g=10g = 10 м/с2^2. Силу сопротивления воздуха считайте пренебрежимо малой.

Найдите модуль начальной скорости осколков, представленных в условии. Ответ приведите в [м/с] с округлением до целых.

О задаче · 10 класс
Олимпиада
Физтех (МФТИ)
Этап
Отборочный этап, первый тур (1 попытка)
Предмет / класс
Физика · 10 класс
Сезон
2025/26

Когда два осколка с одной скоростью падают в одну точку, что можно сказать об их углах? Как меняется расстояние между ними, пока летят оба? В модели можно выбирать угол и смотреть, когда расстояние наибольшее.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеОсколки фейерверка

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Осколки фейерверка

При каком угле расстояние между осколками может стать наибольшим и в какой момент полёта?

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Подсказка для решения без модели

Без JavaScript модель не работает. Для θ = 15°, 22,5°, 30° посчитай (√2v²/g)(sin 2θ + cos 2θ − 1) при v = 10 м/с и сравни.

Подсказка 1

Дальность v2sin⁡2θg\dfrac{v^2\sin2\theta}{g} одинакова для углов θ\theta и 90∘−θ90^\circ-\theta — это и есть два осколка. Ускорение у них общее, поэтому относительная скорость постоянна: пока оба летят, расстояние растёт равномерно, со скоростью v2(cos⁡θ−sin⁡θ)v\sqrt2(\cos\theta-\sin\theta).

Подсказка 2

Нижний осколок падает первым, через t1=2vsin⁡θgt_1=\dfrac{2v\sin\theta}{g}. Расстояние в этот момент 22 v2gsin⁡θ(cos⁡θ−sin⁡θ)\dfrac{2\sqrt2\,v^2}{g}\sin\theta(\cos\theta-\sin\theta). Найди наибольшее значение по θ\theta: sin⁡θcos⁡θ−sin⁡2θ=sin⁡2θ+cos⁡2θ−12\sin\theta\cos\theta-\sin^2\theta=\dfrac{\sin2\theta+\cos2\theta-1}{2}.

Разобрать решение по шагам
1

Углы осколков

Осколки вылетают из одной точки с одинаковой скоростью vv и падают в одну точку — значит, в одной вертикальной плоскости и с одинаковой дальностью v2sin⁡2θg\dfrac{v^2\sin2\theta}{g}. Это возможно при углах θ\theta и 90∘−θ90^\circ-\theta (одинаковые углы дают нулевое расстояние). Пусть θ<45∘\theta<45^\circ — угол нижнего осколка.

2

Пока летят оба

Оба осколка движутся с ускорением g⃗\vec g, поэтому их относительная скорость постоянна:

v⃗1−v⃗2=v(cos⁡θ−sin⁡θ, sin⁡θ−cos⁡θ),∣v⃗1−v⃗2∣=v2(cos⁡θ−sin⁡θ).\vec v_1-\vec v_2=v(\cos\theta-\sin\theta,\ \sin\theta-\cos\theta),\qquad |\vec v_1-\vec v_2|=v\sqrt2(\cos\theta-\sin\theta).

Расстояние растёт равномерно до падения нижнего осколка в момент t1=2vsin⁡θgt_1=\dfrac{2v\sin\theta}{g}:

d1(θ)=v2(cos⁡θ−sin⁡θ)⋅2vsin⁡θg=2 v2g (sin⁡2θ+cos⁡2θ−1).d_1(\theta)=v\sqrt2(\cos\theta-\sin\theta)\cdot\frac{2v\sin\theta}{g}=\frac{\sqrt2\,v^2}{g}\,(\sin2\theta+\cos2\theta-1).
3

После падения нижнего осколка

Дальше нижний осколок лежит в точке падения, а верхний летит к ней же. Пусть τ\tau — время, оставшееся верхнему до падения. По симметрии траектории он находится на расстоянии vsin⁡θ τv\sin\theta\,\tau по горизонтали и на высоте vcos⁡θ τ−gτ22v\cos\theta\,\tau-\dfrac{g\tau^2}{2} над точкой падения, поэтому

D2=v4g2 f(s),f(s)=s2−cos⁡θ s3+s44,s=gτv∈[0, 2(cos⁡θ−sin⁡θ)].D^2=\frac{v^4}{g^2}\,f(s),\qquad f(s)=s^2-\cos\theta\,s^3+\frac{s^4}{4},\qquad s=\frac{g\tau}{v}\in\Big[0,\ 2(\cos\theta-\sin\theta)\Big].

Производная f′(s)=s (s2−3cos⁡θ s+2)f'(s)=s\,(s^2-3\cos\theta\,s+2). Если cos⁡2θ<89\cos^2\theta<\dfrac89 (то есть θ>19,5∘\theta>19{,}5^\circ), скобка положительна, ff растёт по ss — расстояние после t1t_1 только убывает, и наибольшее достигается в момент t1t_1. Если же угол пологий, у ff есть локальный максимум при s−s_-, где s−s+=2s_-s_+=2, так что s−2≤2s_-^2\le2; в нём cos⁡θ=s−2+23s−\cos\theta=\dfrac{s_-^2+2}{3s_-} и

f(s−)=s−2 (4−s−2)12≤2⋅212=13<(2−2)2≈0,343.f(s_-)=\frac{s_-^2\,(4-s_-^2)}{12}\le\frac{2\cdot2}{12}=\frac13<(2-\sqrt2)^2\approx0{,}343.

Значит, при любом угле наибольшее расстояние за полёт — это либо d1(θ)d_1(\theta) в момент t1t_1, либо (только для пологих углов) значение, не превосходящее v23 g≈0,577v2g\dfrac{v^2}{\sqrt3\,g}\approx0{,}577\dfrac{v^2}{g} — меньше того, что даёт следующий шаг.

4

Наилучший угол и скорость

sin⁡2θ+cos⁡2θ=2sin⁡(2θ+45∘)\sin2\theta+\cos2\theta=\sqrt2\sin(2\theta+45^\circ) — наибольшее значение 2\sqrt2 при 2θ=45∘2\theta=45^\circ, θ=22,5∘\theta=22{,}5^\circ (tg⁡22,5∘≈0,41>13\operatorname{tg}22{,}5^\circ\approx 0{,}41>\dfrac13). Тогда

dmax⁡=2 v2g(2−1)=(2−2) v2g⇒v=dg2−2=3100,5858≈23,0 м/с.d_{\max}=\frac{\sqrt2\,v^2}{g}(\sqrt2-1)=\frac{(2-\sqrt2)\,v^2}{g}\quad\Rightarrow\quad v=\sqrt{\frac{dg}{2-\sqrt2}}=\sqrt{\frac{310}{0{,}5858}}\approx 23{,}0\ \text{м/с}.

С округлением до целых: 2323 м/с.

Проверка

При v=23v=23 м/с: (2−2)⋅52910≈31,0\dfrac{(2-\sqrt2)\cdot 529}{10}\approx 31{,}0 м — совпадает с dd. Углы осколков 22,5∘22{,}5^\circ и 67,5∘67{,}5^\circ — между векторами скоростей 45∘45^\circ. Перебор в тесте по углам с шагом 0,25∘0{,}25^\circ и по времени полёта подтверждает: наибольшее расстояние 0,586 v2/g0{,}586\,v^2/g достигается при θ≈22,5∘\theta\approx 22{,}5^\circ в момент падения нижнего осколка; для пологих углов локальный максимум после t1t_1 совпадает с формулой f(s−)=s−2(4−s−2)/12f(s_-)=s_-^2(4-s_-^2)/12 и не превышает v2/(3g)v^2/(\sqrt3 g), то есть меньше 0,586 v2/g0{,}586\,v^2/g. Официальные указания к решению дают ту же оценку dmax⁡=(2−2) v02/gd_{\max}=(2-\sqrt2)\,v_0^2/g при угле π/8\pi/8 (файл «Решения Ф10 1 попытка», стр. 3), рассматривая только момент падения первого осколка.

Ответ

v=dg2−2≈23v=\sqrt{\dfrac{dg}{2-\sqrt2}}\approx 23 м/с.

Ответ

v=dg2−2≈23v=\sqrt{\dfrac{dg}{2-\sqrt2}}\approx 23 м/с.

Главная идея

В однородном поле тяжести относительная скорость двух тел постоянна, и пока оба летят, расстояние между ними растёт равномерно. Это сводит задачу к максимуму простой тригонометрической функции.

Два тела в поле тяжести — переходи в систему одного из них: другое движется равномерно и прямолинейно.

Где легко ошибиться

Считать, что наибольшее расстояние — когда верхний осколок в высшей точке, или взять угол между скоростями 90∘90^\circ. Ещё одна ошибка — не учесть, что после падения нижний осколок перестаёт двигаться.

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · физика · 10 класс · 2025/26 · отборочный этап, первый тур (1 попытка). Задача 10, версия с ID 4651 — первая в официальном файле; другие числовые версии этого номера (ID 4652, 4653, 4654) можно выбрать в модели.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 13) ↗ · Сайт олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение написано до знакомства с решением организатора; затем ответ совпадает с решением организатора («Решения Ф10 1 попытка 2025», стр. 3 ↗: d_max = (2 − √2)v₀²/g при угле π/8; v₀ = √(g·d_max/(2 − √2)) → 23 м/с). Совпадает; официальные указания рассматривают расстояние только в момент падения первого осколка, доказательство для времени после его падения добавлено на странице.

Продолжить тему: Кинематика →
Тема, знания и приёмы

Кинематика · Продвинутая подготовка

  • Движение тела, брошенного под углом
  • Относительная скорость
  • Тригонометрические преобразования

Приёмы решения: Относительное движение · Оценка и достижимость

Задать вопрос по задаче →
Увеличенный рисунок