Физтех 2025/26 · Физика · 10 кл., №6 — решение · Отборочный этап

Условие

Плоский склон снежной горки образует с горизонтом угол $\alpha = 30^\circ$ На высотах больших некоторой коэффициент трения скольжения санок по склону $\mu_1 = 0{,}1$ ниже коэффициент трения скольжения санок по склону $\mu_2 = 0{,}7$ В целях безопасности эти коэффициенты подобраны так, что после старта с нулевой начальной скоростью санки приезжают к основанию горки и останавливаются. Точка старта находится на высоте $H = 5$ м. Ускорение свободного падения $g = 10$ м/с $^2$ Движение санок прямолинейное.

Найдите наибольшую скорость санок в процессе движения. Ответ приведите в [м/с] с округлением до десятых.

О задаче · 10 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Отборочный этап, первый тур (1 попытка)
Предмет / класс: Физика · 10 класс
Сезон: 2025/26

Где санки движутся быстрее всего — где они перестают разгоняться? Высота границы зон не дана, но условие об остановке у основания её определяет. Удобно считать работу трения через высоту. В модели можно двигать границу и смотреть, где остановятся санки.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеНайти границу зон

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Найти границу зон

На какой высоте должна быть граница зон, чтобы санки остановились ровно у основания? Где их скорость наибольшая?

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Подсказка для решения без модели

Без JavaScript модель не работает. Посчитай A = 1 − 0,1·√3 и B = 0,7·√3 − 1, найди h = 5A/(A + B) и скорость на этой высоте.

Подсказка 1

На склоне работа силы трения на участке, где высота уменьшилась на $\Delta h$ $\mu mg\cos\alpha\cdot\dfrac{\Delta h}{\sin\alpha}=\mu mg\,\Delta h\operatorname{ctg}\alpha$ . Выше границы ( $\mu_1\operatorname{ctg}\alpha<1$ ) санки разгоняются, ниже ( $\mu_2\operatorname{ctg}\alpha>1$ ) тормозят. Наибольшая скорость — на границе.

Подсказка 2

Обозначь высоту границы $h$ Энергия: $\dfrac{v^2}{2g}=(H-h)(1-\mu_1\operatorname{ctg}\alpha)$ на границе и $0=(H-h)(1-\mu_1\operatorname{ctg}\alpha)-h(\mu_2\operatorname{ctg}\alpha-1)$ у основания. Из второго найди $h$

Разобрать решение по шагам

Работа трения через высоту

На склоне сила реакции $mg\cos\alpha$ трение $\mu mg\cos\alpha$ Если высота уменьшилась на $\Delta h$ санки проехали по склону $\dfrac{\Delta h}{\sin\alpha}$ , и трение совершило работу $-\mu mg\,\Delta h\operatorname{ctg}\alpha$ . Тяжесть совершила работу $mg\,\Delta h$ Итого кинетическая энергия меняется на $mg\,\Delta h\,(1-\mu\operatorname{ctg}\alpha)$ .

$\operatorname{ctg}30^\circ=\sqrt3\approx 1{,}732$ : выше границы $1-\mu_1\operatorname{ctg}\alpha\approx 0{,}827>0$ — санки разгоняются; ниже $\mu_2\operatorname{ctg}\alpha-1\approx 0{,}212>0$ — тормозят. Значит, наибольшая скорость — на границе зон.

Высота границы из условия остановки

Пусть граница на высоте $h$ Обозначим $A=1-\mu_1\operatorname{ctg}\alpha$ , $B=\mu_2\operatorname{ctg}\alpha-1$ . Санки стартуют и останавливаются у основания — полное изменение кинетической энергии равно нулю:

mg(H-h)A-mghB=0\quad\Rightarrow\quad h=\frac{HA}{A+B}=\frac{5\cdot 0{,}827}{0{,}827+0{,}212}\approx 3{,}98\ \text{м}.

Наибольшая скорость

На границе:

\frac{v_{\max}^2}{2}=g(H-h)A=g\,\frac{HAB}{A+B}\quad\Rightarrow\quad v_{\max}=\sqrt{\frac{2gHAB}{A+B}}=\sqrt{\frac{2\cdot 10\cdot 5\cdot 0{,}827\cdot 0{,}212}{1{,}039}}\approx\sqrt{16{,}90}\approx 4{,}11\ \text{м/с}.

С округлением до десятых: $4{,}1$ м/с.

Проверка

Проверим тормозной участок: ниже границы санки тормозят с ускорением $g(\mu_2\cos\alpha-\sin\alpha)\approx 10(0{,}606-0{,}5)=1{,}06$ м/с $^2$ и до остановки проезжают $\dfrac{16{,}90}{2\cdot 1{,}06}\approx 7{,}96$ м по склону — это высота $7{,}96\cdot\sin 30^\circ\approx 3{,}98$ м, ровно до основания. Скорость меньше, чем без трения, $\sqrt{2gH}=10$ м/с, как и должно быть.

Ответ

$v_{\max}=\sqrt{\dfrac{2gHAB}{A+B}}\approx 4{,}1$ м/с, где $A=1-\mu_1\operatorname{ctg}\alpha$ , $B=\mu_2\operatorname{ctg}\alpha-1$ .

Ответ

$v_{\max}=\sqrt{\dfrac{2gHAB}{A+B}}\approx 4{,}1$ м/с, где $A=1-\mu_1\operatorname{ctg}\alpha$ , $B=\mu_2\operatorname{ctg}\alpha-1$ .

Главная идея

На наклонной плоскости работа трения пропорциональна потере высоты: $\mu mg\,\Delta h\operatorname{ctg}\alpha$ . Неизвестную высоту границы задаёт условие остановки у основания; наибольшая скорость — там, где разгон сменяется торможением.

Если трение на склоне разное на разных высотах — пиши закон изменения энергии с работой трения через высоту.

Где легко ошибиться

Искать наибольшую скорость у основания горки (там она равна нулю) или считать работу трения по горизонтальной проекции без $\operatorname{ctg}\alpha$

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · физика · 10 класс · 2025/26 · отборочный этап, первый тур (1 попытка). Задача 6, версия с ID 4635 — первая в официальном файле; другие числовые версии этого номера (ID 4636, 4637, 4638) можно выбрать в модели.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 8) ↗ · Сайт олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение написано до знакомства с решением организатора; затем ответ совпадает с решением организатора, с уточнением («Решения Ф10 1 попытка 2025», стр. 2 ↗: μ1 < tg α < μ2; A12 = −(mg/tg α)(μ1H + (μ2 − μ1)h); −mgH = −(mg/tg α)(μ1H + (μ2 − μ1)h) ⇒ h = (tg α − μ1)H/(μ2 − μ1); S1 = (H − h)/sin α = (μ2 − tg α)H/(sin α(μ2 − μ1)); a = g(sin α − μ1 cos α); V_MAX = √(2aS1) = √(2g(sin α − μ1 cos α)·(μ2 − tg α)H/(sin α(μ2 − μ1)))). Формулы тождественны, но записаны по-разному: (sin α − μ1 cos α)/sin α = A и (μ2 − tg α)/(μ2 − μ1) = B/(A + B), поскольку A + B = (μ2 − μ1)·ctg α; поэтому официальное V_MAX² = 2gH·AB/(A + B). Обе формулы дают 4,111 м/с.

Продолжить тему: Энергия и импульс →

Тема, знания и приёмы

Энергия и импульс · Начальный вход

Закон изменения кинетической энергии
Сила трения на наклонной плоскости

Приёмы решения: Закон сохранения энергии

Задать вопрос по задаче →