Физтех 2024/25 · Физика · 9 кл., №9 — решение · Отборочный этап

Условие

Поезд после отправления движется по прямой равноускорено. Школьник, стоящий на платформе, замечает, что очередной вагон проехал мимо него за время $t_1 = 3{,}37$ с, а следующий вагон проехал мимо школьника за время $t_2 = 3{,}1$ с.

Сколько времени находился в движении поезд, к тому моменту, когда школьник начал отсчет интервала времени $t_1$ Ответ приведите в [с] с округлением до целого числа. Расстояние между вагонами считайте пренебрежимо малым.

О задаче · 9 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Отборочный этап, второй тур (2 попытка)
Предмет / класс: Физика · 9 класс
Сезон: 2024/25

Ни длина вагона, ни ускорение не даны. Может, они сократятся? В модели подбирай, сколько поезд уже ехал, и сравнивай время второго вагона с условием. Ниже можно сверить ответ — целое число секунд.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеПоезд у платформы

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Поезд у платформы

Сколько поезд разгонялся к началу замера, если второй вагон прошёл за t₂?

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Подсказка для решения без модели

Если модель не открылась, попробуй так. Пусть поезд тронулся в момент начала замера: первый вагон прошёл за t₁, тогда два вагона — за t₁√2. Сколько это даёт для второго вагона? Сравни с t₂.

Подсказка 1

Пусть $a$ — ускорение, $\tau$ — искомое время. К началу отсчёта скорость поезда $a\tau$ и длина вагона $\ell = a\tau t_1 + \tfrac{a t_1^2}{2}$ .

Подсказка 2

Для следующего вагона начальная скорость $a(\tau + t_1)$ $\ell = a(\tau + t_1)t_2 + \tfrac{a t_2^2}{2}$ . Приравняй два выражения — $a$ сократится.

Разобрать решение по шагам

Длина вагона через τ

Поезд стартовал из покоя с ускорением $a$ Через $\tau$ секунд его скорость $a\tau$ За следующие $t_1$ секунд мимо школьника проходит один вагон:

\ell = a\tau t_1 + \frac{a t_1^2}{2}.

Следующий вагон

К началу второго замера скорость поезда $a(\tau + t_1)$ и за $t_2$ проходит вагон той же длины:

\ell = a(\tau + t_1)\,t_2 + \frac{a t_2^2}{2}.

Приравниваем длины

Длины одинаковы, ускорение $a$ сокращается:

\tau t_1 + \frac{t_1^2}{2} = (\tau + t_1)\,t_2 + \frac{t_2^2}{2},

откуда

\tau = \frac{t_2^2 + 2t_1t_2 - t_1^2}{2(t_1 - t_2)}.

Подставляем:

\tau = \frac{3{,}1^2 + 2 \cdot 3{,}37 \cdot 3{,}1 - 3{,}37^2}{2 \cdot 0{,}27} = \frac{9{,}61 + 20{,}894 - 11{,}3569}{0{,}54} = \frac{19{,}1471}{0{,}54} \approx 35{,}46 \text{ с} \approx 35 \text{ с}.

Проверка

Проверка: пусть вагон длиной $25$ м. Тогда $a = \dfrac{2\ell}{(\tau + t_1)^2 - \tau^2} = \dfrac{50}{38{,}83^2 - 35{,}46^2} \approx 0{,}20$ м/с² — обычный разгон электрички, и следующий вагон проходит за $\sqrt{38{,}83^2 + 2 \cdot 25/0{,}2} - 38{,}83 \approx 3{,}10$ с — сходится. Разность $t_1 - t_2$ мала, поэтому ответ чувствителен к данным — недаром времена даны с сотыми. Другие версии: ID 3735 — $9{,}64/0{,}4 = 24{,}1 \to 24$ с; ID 3736 — $13{,}8096/0{,}72 \approx 19{,}18 \to 19$ с; ID 3737 — $48{,}9026/0{,}64 \approx 76{,}41 \to 76$ с.

Ответ

$\tau \approx 35$ с.

Ответ

$\tau \approx 35$ с.

Главная идея

Длина вагона одна и та же — записываем её двумя способами через неизвестное время разгона; ускорение и длина сокращаются.

«Равноускоренно из покоя, известны времена прохождения соседних одинаковых участков» — приравнять длины участков.

Где легко ошибиться

Считать, что поезд тронулся в момент начала замера; забыть, что к началу второго замера скорость уже a(τ + t₁); ошибиться в знаке (t₁ > t₂, поезд разгоняется).

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · физика · 9 класс · 2024/25 · отборочный этап, второй тур (2 попытка). Задача 9, версия с ID 3734 — первая в официальном файле; другие версии этого номера (ID 3735, 3736, 3737) можно выбрать в модели.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 17) ↗ · Указания к решению от организатора ↗ · Архив заданий олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение записано до знакомства с указаниями организатора; затем ответы всех четырёх версий совпадают с результатом подстановки данных в формулу из указаний организатора (числовых ответов по версиям в указаниях нет) («Решения Ф9 2 попытка 2024», стр. 3 ↗).

Продолжить тему: Кинематика →

Тема, знания и приёмы

Кинематика · Нужна школьная база

Равноускоренное движение: s = v₀t + at²/2
Скорость при разгоне из покоя v = at

Приёмы решения: Удачная подстановка или замена

Задать вопрос по задаче →