Физтех 2024/25 · Физика · 9 кл., №8 — решение · Отборочный этап

Условие

В электрической цепи, схема которой представлена на рисунке, четыре резистора, у двух из которых сопротивление $R = 20$ Ом, у двух других сопротивление по $2R$ Ом. Сопротивление амперметров пренебрежимо мало. После подключения к клеммам А и В источника постоянного напряжения показания амперметров оказались различными. Меньшее показание $1$ А.

Какая суммарная мощность рассеивается на всех резисторах схемы? Ответ приведите в [Вт] с округлением до целого числа.

Рисунок к условию

О задаче · 9 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Отборочный этап, второй тур (2 попытка)
Предмет / класс: Физика · 9 класс
Сезон: 2024/25

Где какой резистор стоит — неизвестно. Попробуй заменить амперметры проводами и перерисовать схему. В модели переставляй резисторы и смотри на показания. Ниже можно сверить ответ — целое число ватт.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеРасставь резисторы

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Расставь резисторы

При каких расстановках резисторов показания амперметров различны и какая тогда мощность?

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Подсказка для решения без модели

Если модель не открылась, попробуй так. Обведи на рисунке провода амперметров и найди, какие два резистора они соединяют между одними и теми же узлами.

Подсказка 1

Амперметр с пренебрежимо малым сопротивлением — это просто провод. Проследи, какие точки он соединяет: крайние резисторы схемы окажутся соединены параллельно.

Подсказка 2

Левый и правый крайние резисторы включены параллельно, амперметры показывают токи через них. Показания разные — значит, это $R$ и $2R$ два средних резистора — тоже $R$ и $2R$ и по ним течёт весь ток.

Разобрать решение по шагам

Перерисуем схему

Пронумеруем резисторы слева направо: $r_1$ $r_2$ — от левого края до клеммы А, $r_3$ $r_4$ — от клеммы В до правого края; $N_1$ — узел между $r_1$ и $r_2$ $N_2$ — между $r_3$ и $r_4$ Амперметры заменим проводами. Верхний соединяет левый конец $r_1$ с узлом $N_2$ нижний — узел $N_1$ с правым концом $r_4$ Получается: А — $r_2$ — $N_1$ между $N_1$ и $N_2$ параллельно стоят $r_1$ и $r_4$ $N_2$ — $r_3$ — В.

Та же схема без амперметров (для одной из подходящих расстановок): r₂ и r₃ последовательно, r₁ и r₄ параллельно.

Какие резисторы где

Через верхний амперметр проходит ток резистора $r_1$ через нижний — ток $r_4$ Напряжение на параллельных $r_1$ и $r_4$ одно и то же, поэтому при $r_1 = r_4$ показания совпали бы. По условию они различны, значит, среди $r_1$ $r_4$ один равен $R$ другой $2R$ Тогда $r_2$ и $r_3$ — это оставшиеся $R$ и $2R$

Токи и мощность

Через $2R$ ток вдвое меньше, чем через $R$ меньшее показание $I = 1$ А — ток через $2R$ через $R$ течёт $2I$ а через $r_2$ и $r_3$ — весь ток $3I = 3$ А. Сопротивление цепи

R_{\text{экв}} = R + 2R + \frac{R \cdot 2R}{R + 2R} = \frac{11}{3}R,

мощность

P = (3I)^2 R_{\text{экв}} = 9I^2 \cdot \frac{11}{3}R = 33RI^2 = 33 \cdot 20 \cdot 1 = 660 \text{ Вт}.

Проверка

Проверка по каждому резистору: на $R$ в параллели $2^2 \cdot 20 = 80$ Вт, на $2R$ в параллели $1^2 \cdot 40 = 40$ Вт, на последовательных $3^2 \cdot (20 + 40) = 540$ Вт — всего $660$ Вт. Ответ не зависит от того, какой из средних резисторов $R$ а какой $2R$ Другие версии: ID 3731 — $33 \cdot 24 \cdot 0{,}25 = 198$ Вт; ID 3732 — $33 \cdot 15 \cdot 0{,}64 = 316{,}8 \to 317$ Вт; ID 3733 — $33 \cdot 25 \cdot 0{,}16 = 132$ Вт.

Ответ

$P = 660$ Вт.

Ответ

$P = 660$ Вт.

Главная идея

Идеальный амперметр — провод: после перерисовки видны два параллельных и два последовательных резистора, а различие показаний однозначно говорит, где стоят R и 2R.

«Амперметры с пренебрежимо малым сопротивлением» в запутанной схеме — заменить их проводами и перерисовать схему.

Где легко ошибиться

Считать, что амперметры показывают ток в неразветвлённой части; считать все резисторы последовательными; решить, что меньший ток течёт через R.

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · физика · 9 класс · 2024/25 · отборочный этап, второй тур (2 попытка). Задача 8, версия с ID 3730 — первая в официальном файле; другие версии этого номера (ID 3731, 3732, 3733) можно выбрать в модели.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 15) ↗ · Указания к решению от организатора ↗ · Архив заданий олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора, рисунок перерисован по нему. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение записано до знакомства с указаниями организатора; затем ответы всех четырёх версий совпадают с результатом подстановки данных в формулу из указаний организатора (числовых ответов по версиям в указаниях нет) («Решения Ф9 2 попытка 2024», стр. 3 ↗).

Продолжить тему: Электрические цепи →

Тема, знания и приёмы

Электрические цепи · Нужна школьная база

Последовательное и параллельное соединение
Закон Ома
Мощность P = I²R

Приёмы решения: Разбор случаев · Узлы и эквивалентная цепь

Задать вопрос по задаче →