Физтех 2024/25 · Физика · 9 кл., №5 — решение · Отборочный этап

Условие

На рисунке показан механизм для перемещения грузов по вертикали. Масса груза равна $m = 36$ кг. Отношение радиуса $r$ рукоятки к радиусу $R$ вала, на который намотан трос, равно $\dfrac{r}{R} = 3$ Массы всех движущихся частей механизма пренебрежимо малы.

Найдите минимальную силу, которую следует прикладывать к рукоятке, чтобы медленно поднимать груз. Ускорение свободного падения $g = 10$ м/с². Ответ приведите в [Н] с округлением до целого числа.

Рисунок к условию

О задаче · 9 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Отборочный этап, второй тур (2 попытка)
Предмет / класс: Физика · 9 класс
Сезон: 2024/25

Посчитай зубья колеса на рисунке. На сколько повернётся колесо за один оборот рукоятки? В модели вращай рукоятку и смотри на счётчики. Ниже можно сверить ответ — целое число ньютонов.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеЧервячная передача

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Червячная передача

На сколько поворачивается колесо за оборот рукоятки и какая наименьшая сила поднимает груз?

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Подсказка для решения без модели

Если модель не открылась, попробуй так. Сделай один оборот рукоятки «в уме»: колесо повернётся на один зуб из 12. На сколько поднимется груз, если радиус вала R? А какой путь пройдёт рука?

Подсказка 1

Червяк за один оборот рукоятки сдвигает колесо на один зуб. На рисунке у колеса $12$ зубьев — значит, колесо поворачивается на $\tfrac{1}{12}$ оборота, и вал наматывает $\tfrac{2\pi R}{12}$ троса.

Подсказка 2

Трения нет, детали лёгкие, подъём медленный: работа силы на рукоятке за оборот $F \cdot 2\pi r$ равна приросту энергии груза $mg\,\tfrac{2\pi R}{12}$

Разобрать решение по шагам

Как работает червяк

Червяк — винт на валу рукоятки, его виток входит между зубьями колеса. За один оборот рукоятки виток продвигается на один шаг и поворачивает колесо ровно на один зуб. У колеса $12$ зубьев, поэтому за оборот рукоятки колесо и вал радиуса $R$ поворачиваются на $\tfrac{1}{12}$ оборота.

Пути руки и груза

За оборот рукоятки рука проходит окружность $2\pi r$ Вал наматывает трос длиной $\tfrac{1}{12} \cdot 2\pi R$ — на столько же поднимается груз. Путь руки больше подъёма груза в

\frac{2\pi r}{2\pi R/12} = 12\,\frac{r}{R} = 36 \text{ раз}.

Работа и сила

Трения нет, массы деталей малы, груз поднимают медленно — работа силы $F$ приложенной по касательной к окружности рукоятки, целиком идёт на увеличение потенциальной энергии груза:

F \cdot 2\pi r = mg\,\frac{2\pi R}{12} \;\Rightarrow\; F = \frac{mg}{12\,r/R} = \frac{360}{36} = 10 \text{ Н}.

Меньше нельзя: сила, направленная не по касательной, совершает за оборот меньшую работу.

Проверка

Проверка через силы. Пусть $\rho$ — радиус колеса, тогда шаг червяка (расстояние между зубьями) $p = 2\pi\rho/12$ Колесо в равновесии: червяк давит на зуб с силой $F_ч$ и $F_ч\,\rho = mgR$ Червяк — «наклонная плоскость, намотанная на вал»: $F \cdot 2\pi r = F_ч\,p$ Отсюда $F = \dfrac{mgR}{\rho} \cdot \dfrac{2\pi\rho/12}{2\pi r} = \dfrac{mg}{12\,r/R}$ — радиус колеса сократился. Другие версии: ID 3719 — $720/48 = 15$ Н; ID 3720 — $1200/60 = 20$ Н; ID 3721 — $1800/36 = 50$ Н.

Ответ

$F = 10$ Н.

Ответ

$F = 10$ Н.

Главная идея

Червяк поворачивает колесо на один зуб за оборот рукоятки; без трения работа силы на рукоятке равна работе по подъёму груза, и выигрыш в силе равен 12·r/R.

«Механизм без трения, найти минимальную силу» — золотое правило механики: во сколько раз путь руки длиннее подъёма груза, во столько раз сила меньше веса.

Где легко ошибиться

Не учесть червячную пару и получить mg/(r/R) = 120 Н; считать, что колесо за оборот рукоятки поворачивается на полный оборот; не посчитать зубья.

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · физика · 9 класс · 2024/25 · отборочный этап, второй тур (2 попытка). Задача 5, версия с ID 3718 — первая в официальном файле; другие версии этого номера (ID 3719, 3720, 3721) можно выбрать в модели.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 7) ↗ · Указания к решению от организатора ↗ · Архив заданий олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора, рисунок перерисован по нему. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение записано до знакомства с указаниями организатора; затем ответы всех четырёх версий совпадают с результатом подстановки данных в формулу из указаний организатора (числовых ответов по версиям в указаниях нет) («Решения Ф9 2 попытка 2024», стр. 2 ↗).

Продолжить тему: Энергия и импульс →

Тема, знания и приёмы

Энергия и импульс · Нужна школьная база

Работа силы
Потенциальная энергия mgh
Золотое правило механики

Приёмы решения: Закон сохранения энергии

Задать вопрос по задаче →