Физтех 2024/25 · Физика · 9 кл., №6 — решение · Отборочный этап

Условие

В эксперименте по нагреванию жидкости мощность нагревателя постоянна и равна $500$ Вт. Теплоемкость жидкости $8400$ Дж/ $^\circ$ C. Нагревание сопровождается потерями теплоты. Зависимость мощности $P$ тепловых потерь от времени $t$ представлена на графике (см. рис.).

Через какое время после начала нагревания температура жидкости увеличится на $11\,^\circ$ C? Ответ приведите в [с] с округлением до целого числа.

Рисунок к условию

О задаче · 9 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Отборочный этап, второй тур (2 попытка)
Предмет / класс: Физика · 9 класс
Сезон: 2024/25

Мощность потерь растёт со временем. Как посчитать теплоту, ушедшую за время $t$ В модели запусти нагрев и следи за термометром. Ниже можно сверить ответ — целое число секунд.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеНагреватель и график потерь

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Нагреватель и график потерь

Когда жидкость станет на ΔT теплее, если потери растут со временем?

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Подсказка для решения без модели

Если модель не открылась, попробуй так. Посчитай, сколько теплоты уйдёт за первые 200 с: это площадь трапеции под графиком от 0 до 200 с. Сколько тогда достанется жидкости?

Подсказка 1

Теплота, ушедшая за время $t$ — площадь под графиком $P(t)$ от $0$ до $t$ так же как путь — площадь под графиком скорости. Под прямой это трапеция.

Подсказка 2

По графику $P(t) = 100 + 0{,}5t$ потери за время $t$ $\tfrac{100 + (100 + 0{,}5t)}{2}\,t = (100 + 0{,}25t)\,t$ . Жидкости достаётся $500t - (100 + 0{,}25t)\,t = 8400 \cdot 11$ .

Разобрать решение по шагам

Мощность потерь по графику

График — прямая через точки $(0;\ 100)$ и $(400;\ 300)$

P(t) = 100 + 0{,}5t,

где $P$ — в ваттах, $t$ — в секундах.

Потери — площадь под графиком

За маленький промежуток $\Delta t$ уходит теплота $P\,\Delta t$ — узкий столбик под графиком. За время от $0$ до $t$ уходит площадь под графиком — трапеция с основаниями $100$ и $100 + 0{,}5t$

Q_{\text{пот}}(t) = \frac{100 + 100 + 0{,}5t}{2}\,t = (100 + 0{,}25t)\,t.

За 280 с: теплота, ушедшая в окружающую среду, — площадь под графиком P(t); теплота, нагревшая жидкость, — между графиком и линией P₀ = 500 Вт.

Закон сохранения энергии

Нагреватель отдаёт $500t$ часть уходит в окружающую среду, остальное нагревает жидкость на $11\,^\circ$ C, это $C\Delta T = 8400 \cdot 11 = 92\,400$ Дж:

500t = 92\,400 + (100 + 0{,}25t)\,t,

то есть

t^2 - 1600t + 369\,600 = 0.

Какой корень выбрать

t = \frac{1600 \pm \sqrt{1600^2 - 4 \cdot 369\,600}}{2} = \frac{1600 \pm 1040}{2},

то есть $280$ с или $1320$ с. Спрашивают, когда жидкость впервые станет на $11\,^\circ$ C теплее, — это меньший корень $t = 280$ с; он лежит на графике. Второй корень далеко за пределами графика, заданного до $400$ с.

Проверка

Проверка: за $280$ с нагреватель отдал $140\,000$ Дж, потери $(100 + 70) \cdot 280 = 47\,600$ Дж, жидкости досталось $92\,400$ Дж $= 8400 \cdot 11$ Если бы потери оставались $100$ Вт, хватило бы $92\,400/400 = 231$ с — рост потерь важен. Другие версии: ID 3723 — $t^2 - 1840t + 360\,000 = 0$ , $t \approx 222{,}6 \to 223$ с; ID 3724 — $t^2 - 1720t + 192\,000 = 0$ , $t = 120$ с; ID 3725 — $t^2 - 1640t + 224\,000 = 0$ , $t \approx 150{,}4 \to 150$ с.

Ответ

$t = 280$ с.

Ответ

$t = 280$ с.

Главная идея

Когда мощность меняется, теплота — площадь под графиком мощности; энергия нагревателя идёт на нагрев жидкости и на потери, получается квадратное уравнение, и нужен первый, меньший корень.

«Мощность меняется по графику» — энергия равна площади под графиком P(t).

Где легко ошибиться

Взять потери постоянными (100 Вт — 231 с) или умножить мощность в момент t на всё время t; взять больший корень 1320 с.

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · физика · 9 класс · 2024/25 · отборочный этап, второй тур (2 попытка). Задача 6, версия с ID 3722 — первая в официальном файле; другие версии этого номера (ID 3723, 3724, 3725) можно выбрать в модели.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 11) ↗ · Указания к решению от организатора ↗ · Архив заданий олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора, рисунок перерисован по нему. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение записано до знакомства с указаниями организатора; затем ответы совпадают с результатом подстановки данных в формулу из указаний организатора (числовых ответов по версиям в указаниях нет); уточнение ниже («Решения Ф9 2 попытка 2024», стр. 2 ↗).

Продолжить тему: Теплообмен и фазовые переходы →

Тема, знания и приёмы

Теплообмен и фазовые переходы · Нужна школьная база

Количество теплоты Q = CΔT
Мощность и энергия Q = Pt
Площадь трапеции
Квадратное уравнение

Приёмы решения: Тепловой баланс по состояниям · Чтение графика и сопоставление состояний

Задать вопрос по задаче →