Физтех 2024/25 · Физика · 9 кл., №4 — решение · Отборочный этап

Условие

Нижний конец однородного стержня массой $M = 2$ кг закреплен в шарнире (см. рис.) на горизонтальной плоскости. Верхний конец стержня касается гладкой вертикальной стенки ОА. Стержень образует с вертикальной стенкой угол $\alpha$ такой, что $\operatorname{tg}\alpha = 0{,}64$ .

Найдите модуль силы, с которой шарнир действует на стержень. Ускорение свободного падения $g = 10$ м/с². Ответ приведите в [Н] с округлением до целого числа.

Рисунок к условию

О задаче · 9 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Отборочный этап, второй тур (2 попытка)
Предмет / класс: Физика · 9 класс
Сезон: 2024/25

Направление силы шарнира заранее неизвестно. Какие силы действуют на стержень и куда направлена сила гладкой стены? В модели подбирай силу стены. Ниже можно сверить ответ — целое число ньютонов.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеСтержень у стены

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Стержень у стены

С какой силой должна давить стена, чтобы стержень покоился, и куда тогда направлена сила шарнира?

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Подсказка для решения без модели

Если модель не открылась, попробуй так. Нарисуй стержень, силу тяжести в середине и горизонтальную силу стены у верхнего конца. Продолжи их линии: где они пересекутся? Через эту точку пройдёт и сила шарнира.

Подсказка 1

Гладкая стена давит только перпендикулярно себе — горизонтально. Запиши равенство моментов относительно шарнира: у силы шарнира плечо нулевое, и она из уравнения выпадет.

Подсказка 2

Плечо силы стены $N$ — высота верхнего конца $L\cos\alpha$ плечо силы тяжести — $\tfrac{L}{2}\sin\alpha$ Отсюда $N = \tfrac{Mg}{2}\operatorname{tg}\alpha$ , а сумма сил даёт $F_x = N$ $F_y = Mg$

Разобрать решение по шагам

Силы

На стержень действуют три силы: сила тяжести $Mg = 20$ Н в середине; сила стены $N$ у верхнего конца — стена гладкая, поэтому $N$ горизонтальна и направлена от стены; сила шарнира $\vec F$ — её направление неизвестно, разложим её на горизонтальную $F_x$ и вертикальную $F_y$

Моменты относительно шарнира

Относительно шарнира у $\vec F$ плечо нулевое. Пусть длина стержня $L$ Плечо силы $N$ — расстояние от шарнира до горизонтали через верхний конец, то есть высота этого конца $L\cos\alpha$ Плечо силы тяжести — горизонтальное расстояние от шарнира до середины, $\tfrac{L}{2}\sin\alpha$ Моменты уравновешены:

N L\cos\alpha = Mg\,\frac{L}{2}\sin\alpha,

откуда

N = \frac{Mg}{2}\operatorname{tg}\alpha = \frac{20 \cdot 0{,}64}{2} = 6{,}4 \text{ Н}.

Сумма сил и ответ

Стержень покоится, сумма сил равна нулю: по горизонтали $F_x = N = 6{,}4$ Н (к стене), по вертикали $F_y = Mg = 20$ Н (вверх). Поэтому

F = \sqrt{F_x^2 + F_y^2} = Mg\sqrt{1 + \tfrac{1}{4}\operatorname{tg}^2\alpha} = \sqrt{6{,}4^2 + 20^2} \approx 21{,}0 \text{ Н} \approx 21 \text{ Н}.

Силы N, Mg и F (масштаб силы стены увеличен вчетверо). Линии действия трёх уравновешенных сил пересекаются в одной точке S.

Проверка

Проверка: три непараллельные силы уравновешивают тело, только если их линии действия пересекаются в одной точке. Горизонталь через верхний конец и вертикаль через середину стержня пересекаются в точке $S$ сила шарнира направлена из шарнира в $S$ тангенс её наклона к горизонтали $\dfrac{L\cos\alpha}{\tfrac{L}{2}\sin\alpha} = \dfrac{2}{\operatorname{tg}\alpha} = 3{,}125$ — и действительно $F_y/F_x = 20/6{,}4 = 3{,}125$ . Другие версии: ID 3715 — $40\sqrt{1{,}050625} = 41$ Н; ID 3716 — $60\sqrt{1{,}1764} \approx 65{,}1 \to 65$ Н; ID 3717 — $80\sqrt{1{,}1024} \approx 84{,}0 \to 84$ Н.

Ответ

$F \approx 21$ Н.

Ответ

$F \approx 21$ Н.

Главная идея

Гладкая стена давит горизонтально; уравнение моментов относительно шарнира убирает неизвестную силу шарнира и даёт силу стены, а сумма сил — обе составляющие силы шарнира.

«Лестница или стержень у гладкой стены» — сила стены горизонтальна, моменты берём относительно точки с неизвестной силой.

Где легко ошибиться

Считать, что шарнир действует только вертикально (20 Н) или вдоль стержня; перепутать синус и косинус в плечах (α — угол со стеной, а не с полом).

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · физика · 9 класс · 2024/25 · отборочный этап, второй тур (2 попытка). Задача 4, версия с ID 3714 — первая в официальном файле; другие версии этого номера (ID 3715, 3716, 3717) можно выбрать в модели.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 5) ↗ · Указания к решению от организатора ↗ · Архив заданий олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора, рисунок перерисован по нему. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение записано до знакомства с указаниями организатора; затем ответы всех четырёх версий совпадают с результатом подстановки данных в формулу из указаний организатора (числовых ответов по версиям в указаниях нет) («Решения Ф9 2 попытка 2024», стр. 2 ↗).

Продолжить тему: Равновесие и моменты →

Тема, знания и приёмы

Равновесие и моменты · Нужна школьная база

Момент силы и плечо
Условия равновесия тела
Разложение силы на составляющие, теорема Пифагора

Приёмы решения: Баланс моментов сил · Уравнение сил

Задать вопрос по задаче →