Физтех 2024/25 · Физика · 9 кл., №3 — решение · Отборочный этап

Условие

В мерном стакане смешали два жидких реактива Р1 и Р2. Объем полученного раствора равен $V = 1$ л, массовая доля реактива Р1 в растворе $X = 56\%$ Объём раствора составил $Y = 94\%$ от суммы объёмов этих реактивов до смешивания. Плотность реактива Р1 равна $1000$ кг/м³, плотность реактива Р2 равна $800$ кг/м³.

Найдите массу реактива Р1 в смеси. Ответ приведите в [г] с округлением до целого числа.

О задаче · 9 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Отборочный этап, второй тур (2 попытка)
Предмет / класс: Физика · 9 класс
Сезон: 2024/25

При смешивании объёмы не складываются, а массы складываются. Что тогда удобно взять за неизвестное? В модели подбирай массу Р1 и смотри на уровень в цилиндре. Ниже можно сверить ответ — целое число граммов.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеСмешивание в цилиндре

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Смешивание в цилиндре

Сколько граммов Р1 нужно взять, чтобы раствор занял ровно V?

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Подсказка для решения без модели

Если модель не открылась, попробуй так. Возьми 500 г Р1: сколько тогда граммов Р2 (по массовой доле)? Какие у них объёмы и сколько получится раствора после сжатия до 94%?

Подсказка 1

Возьми за неизвестное массу всего раствора $M$ Массы реактивов: $m_1 = 0{,}56M$ и $m_2 = 0{,}44M$ — при смешивании массы сохраняются.

Подсказка 2

Объёмы до смешивания $V_1 = m_1/\rho_1$ и $V_2 = m_2/\rho_2$ Раствор занимает $94\%$ их суммы: $0{,}94\,(V_1 + V_2) = 1$ л.

Разобрать решение по шагам

Массы через массу раствора

Масса при смешивании сохраняется, поэтому раствор массы $M$ состоит из $m_1 = XM = 0{,}56M$ реактива Р1 и $m_2 = (1 - X)M = 0{,}44M$ реактива Р2.

Объёмы до и после смешивания

Удобно считать в граммах и миллилитрах: $\rho_1 = 1$ г/мл, $\rho_2 = 0{,}8$ г/мл. До смешивания реактивы занимали

V_1 + V_2 = \frac{0{,}56M}{1} + \frac{0{,}44M}{0{,}8} = 0{,}56M + 0{,}55M = 1{,}11M \text{ мл}

( $M$ — в граммах). Раствор занимает $94\%$ этого объёма, и это $V = 1000$ мл:

0{,}94 \cdot 1{,}11M = 1000.

Ответ

M = \frac{1000}{0{,}94 \cdot 1{,}11} = \frac{1000}{1{,}0434} \approx 958{,}4 \text{ г},

m_1 = 0{,}56M \approx 536{,}7 \text{ г} \approx 537 \text{ г}.

Проверка

Проверка: $m_1 \approx 536{,}7$ г занимают $536{,}7$ мл, $m_2 \approx 421{,}7$ г — $527{,}1$ мл, вместе $1063{,}8$ мл, а $94\%$ от этого — $1000$ мл. Если забыть про уменьшение объёма и просто сложить объёмы, вышло бы $m_1 \approx 504{,}5$ г. Другие версии: ID 3711 — $\approx 768{,}4 \to 768$ г; ID 3712 — $\approx 970{,}9 \to 971$ г; ID 3713 — $\approx 308{,}4 \to 308$ г.

Ответ

$m_1 \approx 537$ г.

Ответ

$m_1 \approx 537$ г.

Главная идея

При смешивании жидкостей массы складываются, а объёмы — нет; всё удобно выразить через массу раствора и учесть сжатие множителем Y.

«Объём смеси меньше суммы объёмов» (как у воды со спиртом) — неизвестное — масса, объёмы через плотности, сжатие — множителем.

Где легко ошибиться

Сложить объёмы без учёта сжатия (≈ 504,5 г); разделить на 0,94 не ту величину; принять массовую долю за объёмную.

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · физика · 9 класс · 2024/25 · отборочный этап, второй тур (2 попытка). Задача 3, версия с ID 3710 — первая в официальном файле; другие версии этого номера (ID 3711, 3712, 3713) можно выбрать в модели.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 3) ↗ · Указания к решению от организатора ↗ · Архив заданий олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение записано до знакомства с указаниями организатора; затем ответы всех четырёх версий совпадают с результатом подстановки данных в формулу из указаний организатора (числовых ответов по версиям в указаниях нет) («Решения Ф9 2 попытка 2024», стр. 1 ↗).

Продолжить тему: Плотность и измерения →

Тема, знания и приёмы

Плотность и измерения · Нужна школьная база

Плотность: m = ρV
Массовая доля в процентах
1 л = 1000 мл; 1 г/мл = 1000 кг/м³

Приёмы решения: Удачная подстановка или замена

Задать вопрос по задаче →