Физтех 2024/25 · Физика · 9 кл., №1 — решение · Отборочный этап

Условие

Катер выходит из Санкт Петербурга, движется вверх по Неве, далее по Ладожскому озеру до пункта назначения и по этому же маршруту возвращается в Санкт-Петербург. При движении против течения реки средняя скорость катера $V = 5$ км/ч. При движении по течению средняя скорость катера на $\Delta V = 3$ км/ч больше средней скорости при движении против течения. Длина озерной части маршрута при движении от устья реки до пункта назначения и обратно равна $S = 400$ км.

Найдите продолжительность движения катера по озеру, если известно, что средняя скорость на этом участке маршрута в $m = 8$ раз больше средней скорости за время движения вверх и вниз по реке. Ответ приведите в [ч] с округлением до целого числа.

О задаче · 9 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Отборочный этап, второй тур (2 попытка)
Предмет / класс: Физика · 9 класс
Сезон: 2024/25

Длины Невы в условии нет — может, она и не нужна? Чему равна средняя скорость на реке: среднему арифметическому $5$ и $8$ км/ч или нет? В модели запусти поездку и сравни время вверх и вниз. Ниже можно сверить ответ — целое число часов.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеКатер на Неве

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Катер на Неве

Чему равна средняя скорость катера на реке и зависит ли она от длины Невы?

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Подсказка для решения без модели

Если модель не открылась, попробуй так. Возьми реку длиной 40 км: вверх 40/5 = 8 ч, вниз 40/8 = 5 ч. Какая средняя скорость на 80 км за 13 ч? А если река 80 км?

Подсказка 1

Средняя скорость — это весь путь, делённый на всё время, а не среднее арифметическое скоростей. Обозначь длину реки буквой $\ell$ и найди время вверх и время вниз.

Подсказка 2

Вверх катер идёт $\ell/5$ ч, вниз — $\ell/8$ ч. Средняя скорость на реке $\dfrac{2\ell}{\ell/5 + \ell/8}$ — длина $\ell$ сократится.

Разобрать решение по шагам

Средняя скорость на реке

Пусть длина речного участка $\ell$ Против течения катер идёт со скоростью $V = 5$ км/ч и тратит $\ell/5$ ч, по течению — со скоростью $V + \Delta V = 8$ км/ч и тратит $\ell/8$ ч. Средняя скорость — весь путь $2\ell$ делённый на всё время:

\langle V\rangle = \frac{2\ell}{\dfrac{\ell}{5} + \dfrac{\ell}{8}} = \frac{2}{\dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{8}} = \frac{80}{13} \approx 6{,}15 \text{ км/ч}.

Длина $\ell$ сократилась — поэтому её и нет в условии.

Почему не 6,5 км/ч

Среднее арифметическое $(5 + 8)/2 = 6{,}5$ км/ч не подходит: медленно катер идёт дольше, чем быстро, и медленный участок «весит» больше. На графике скорости по времени оба прямоугольника имеют одинаковую площадь — путь $\ell$ но медленный шире. Средняя скорость — высота прямоугольника той же общей площади $2\ell$ на всё время; она всегда ближе к меньшей скорости.

Река длиной 40 км (для примера): вверх 8 ч, вниз 5 ч. Площади прямоугольников одинаковы, средняя скорость 80/13 ≈ 6,15 км/ч — ниже среднего арифметического.

Время на озере

На озере средняя скорость в $m = 8$ раз больше: $8 \cdot \dfrac{80}{13} = \dfrac{640}{13} \approx 49{,}2$ км/ч. Путь по озеру туда и обратно $S = 400$ км, поэтому

T = \frac{S}{m\langle V\rangle} = \frac{400 \cdot 13}{640} = 8{,}125 \text{ ч} \approx 8 \text{ ч}.

Проверка

Проверка: с настоящей длиной Невы $\ell = 74$ км катер идёт вверх $14{,}8$ ч, вниз $9{,}25$ ч — $148$ км за $24{,}05$ ч, то есть $\approx 6{,}15$ км/ч, как и должно быть. В общем виде $T = \dfrac{S\,(2V + \Delta V)}{2mV(V + \Delta V)}$ . Другие версии: ID 3703 — $\langle V\rangle = 4{,}8$ км/ч, $T = 320/52{,}8 \approx 6{,}06 \to 6$ ч; ID 3704 — $\langle V\rangle = 48/7$ км/ч, $T \approx 3{,}21 \to 3$ ч; ID 3705 — $\langle V\rangle = 140/17$ км/ч, $T \approx 3{,}99 \to 4$ ч.

Ответ

$T \approx 8$ ч.

Ответ

$T \approx 8$ ч.

Главная идея

Средняя скорость — весь путь на всё время; при одинаковых путях туда и обратно длина сокращается, а средняя скорость меньше среднего арифметического.

«Туда со скоростью v₁, обратно — v₂, найти среднюю» — среднее гармоническое 2v₁v₂/(v₁ + v₂), длина пути не нужна.

Где легко ошибиться

Взять среднее арифметическое 6,5 км/ч: здесь после округления выходит то же 8 ч, но это совпадение — время на озере получается 7,7 ч вместо 8,1 ч. Считать S путём в один конец (ответ вдвое больше).

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · физика · 9 класс · 2024/25 · отборочный этап, второй тур (2 попытка). Задача 1, версия с ID 3702 — первая в официальном файле; другие версии этого номера (ID 3703, 3704, 3705) можно выбрать в модели.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 1) ↗ · Указания к решению от организатора ↗ · Архив заданий олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение записано до знакомства с указаниями организатора; затем ответы всех четырёх версий совпадают с результатом подстановки данных в формулу из указаний организатора (числовых ответов по версиям в указаниях нет) («Решения Ф9 2 попытка 2024», стр. 1 ↗).

Продолжить тему: Кинематика →

Тема, знания и приёмы

Кинематика · Нужна школьная база

Средняя скорость: весь путь на всё время
Действия с дробями

Приёмы решения: Среднее и взвешенное среднее

Задать вопрос по задаче →