Физтех 2024/25 · Физика · 9 кл., №2 — решение · Отборочный этап

Условие

Винтомоторный самолет летит по прямой со скоростью $V = 900$ км/ч. Диаметр винта $D = 5{,}6$ м. Винт вращается с частотой $n = 736$ об/мин.

В лабораторной системе отсчета найдите длину пути концевой точки винта за время $T = 3$ ч. Считайте $\pi = 3{,}14$ Ответ приведите в [км] с округлением до целого числа.

О задаче · 9 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Отборочный этап, второй тур (2 попытка)
Предмет / класс: Физика · 9 класс
Сезон: 2024/25

Конец лопасти одновременно летит вперёд вместе с самолётом и бежит по кругу. Как сложить эти два движения? В модели посмотри на след конца лопасти. Ниже можно сверить ответ — целое число километров.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеСлед конца лопасти

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

След конца лопасти

Какую линию рисует конец лопасти относительно земли и какой путь проходит за один оборот?

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Подсказка для решения без модели

Если модель не открылась, попробуй так. Нарисуй цилиндр и обмотай его ниткой винтом, а потом разверни бумагу: какая фигура получится из одного витка?

Подсказка 1

Перейди в систему отсчёта самолёта: там конец лопасти просто движется по окружности со скоростью $u = \pi D n$ (частоту $n$ возьми в оборотах в секунду). Эта скорость всегда перпендикулярна скорости самолёта.

Подсказка 2

Относительно земли скорости складываются как векторы: $|\vec v| = \sqrt{V^2 + u^2}$ . Модуль не меняется со временем, поэтому путь равен $|\vec v| \cdot T$

Разобрать решение по шагам

Скорость конца лопасти относительно самолёта

Частота $n = 736$ об/мин $= \dfrac{736}{60} \approx 12{,}27$ об/с. За оборот конец лопасти проходит окружность $\pi D = 3{,}14 \cdot 5{,}6 = 17{,}584$ м, поэтому

u = \pi D n = 17{,}584 \cdot \frac{736}{60} \approx 215{,}70 \text{ м/с}.

Эта скорость направлена по касательной к окружности, а окружность лежит в плоскости винта — перпендикулярно направлению полёта.

Сложение скоростей

Относительно земли $\vec v = \vec V + \vec u$ где $V = 900$ км/ч $= 250$ м/с. Векторы перпендикулярны, по теореме Пифагора

|\vec v| = \sqrt{V^2 + u^2} = \sqrt{250^2 + 215{,}70^2} \approx 330{,}19 \text{ м/с}.

Направление $\vec v$ всё время меняется — конец лопасти описывает винтовую линию, — но модуль скорости постоянен.

Развернём один виток винтовой линии на плоскость: катеты — путь самолёта за оборот и окружность лопасти, гипотенуза — путь конца лопасти за оборот.

Путь

Раз модуль скорости постоянен, путь — произведение скорости на время. $T = 3$ ч $= 10\,800$ с:

s = |\vec v|\,T \approx 330{,}19 \cdot 10\,800 \approx 3\,566\,049 \text{ м} \approx 3566 \text{ км}.

Проверка

Проверка другим путём: развёрнутый виток — прямоугольный треугольник с катетами $V/n = 250/12{,}267 \approx 20{,}38$ м и $\pi D = 17{,}584$ м, гипотенуза $\approx 26{,}92$ м. За $3$ ч винт делает $12{,}267 \cdot 10\,800 = 132\,480$ оборотов: $132\,480 \cdot 26{,}92 \text{ м} \approx 3566$ км. Без вращения самолёт пролетел бы $2700$ км. Другие версии: ID 3707 — $\approx 305{,}64$ м/с за $2$ ч, $\approx 2200{,}6 \to 2201$ км; ID 3708 — $\approx 298{,}20$ м/с за $4$ ч, $\approx 4294{,}1 \to 4294$ км; ID 3709 — $\approx 324{,}07$ м/с за $1{,}5$ ч, $\approx 1750{,}0 \to 1750$ км.

Ответ

$s \approx 3566$ км.

Ответ

$s \approx 3566$ км.

Главная идея

В системе самолёта конец лопасти идёт по окружности со скоростью πDn, перпендикулярной скорости полёта; относительно земли модуль скорости √(V² + (πDn)²) постоянен, и путь равен скорости, умноженной на время.

«Точка вращается и одновременно переносится вдоль оси вращения» — винтовая линия: скорости складываются под прямым углом, развёрнутый виток — прямоугольный треугольник.

Где легко ошибиться

Сложить скорости как числа (V + πDn) или взять только путь самолёта (2700 км); подставить n в об/мин без перевода в об/с; забыть перевести км/ч в м/с.

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · физика · 9 класс · 2024/25 · отборочный этап, второй тур (2 попытка). Задача 2, версия с ID 3706 — первая в официальном файле; другие версии этого номера (ID 3707, 3708, 3709) можно выбрать в модели.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 2) ↗ · Указания к решению от организатора ↗ · Архив заданий олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение записано до знакомства с указаниями организатора; затем ответы всех четырёх версий совпадают с результатом подстановки данных в формулу из указаний организатора (числовых ответов по версиям в указаниях нет) («Решения Ф9 2 попытка 2024», стр. 1 ↗).

Продолжить тему: Кинематика →

Тема, знания и приёмы

Кинематика · Нужна школьная база

Сложение скоростей как векторов
Теорема Пифагора
Частота вращения и длина окружности

Приёмы решения: Относительное движение

Задать вопрос по задаче →