Задача 9. Пирамида с одинаково наклонёнными гранями

Вершина проектируется в центр вписанной окружности

Пусть $SO$ — высота пирамиды, $K_1$, $K_2$, $K_3$ — основания перпендикуляров из $O$ на прямые $BC$, $CA$, $AB$. По теореме о трёх перпендикулярах $SK_i$ перпендикулярны этим прямым, то есть $SK_i$ — высоты боковых граней, а угол между $SK_i$ и $OK_i$ измеряет наклон грани.

Двугранные углы при рёбрах основания равны $\varphi$. Если $\varphi < 90^\circ$, точка $O$ лежит по ту же сторону от каждой прямой, что и треугольник, — то есть внутри треугольника. (При $\varphi \ge 90^\circ$ точка $O$ лежала бы на прямых или по другую сторону от всех трёх прямых сразу, а таких точек нет.) Из прямоугольных треугольников $SOK_i$: $OK_i = H\operatorname{ctg}\varphi$ и $SK_i = \frac{H}{\sin\varphi}$ — одинаковы для всех граней. Значит, $O$ — центр вписанной окружности основания, $OK_i = r$, а все высоты боковых граней равны одному $h$.

Стороны основания

Площадь грани — половина стороны основания на высоту $h$, поэтому стороны равны $\frac{2S_1}{h}$, $\frac{2S_2}{h}$, $\frac{2S_3}{h}$ и пропорциональны площадям. Отношение площадей после умножения на $4$ равно $1625 : 1885 : 2340$, а после деления на $65$ — $25 : 29 : 36$.

У треугольника со сторонами $25$, $29$, $36$ полупериметр $45$ и по формуле Герона площадь $\sqrt{45 \cdot 20 \cdot 16 \cdot 9} = 360$ — ровно площадь основания. Площадь подобного треугольника растёт как квадрат коэффициента, значит, стороны основания именно $25$, $29$, $36$, и $h = \frac{2 \cdot 585}{36} = 32{,}5$.

Высота и объём

Радиус вписанной окружности $r = \frac{S_0}{p} = \frac{360}{45} = 8$. Из прямоугольного треугольника $SOK$ высота пирамиды $H = \sqrt{h^2 - r^2}$, где $h^2 - r^2 = 32{,}5^2 - 8^2 = 992{,}25$, то есть $H = 31{,}5$. Объём

Все величины определились однозначно, поэтому при этом прочтении объём единственный и «наименьший» объём равен $3780$ (так же в этом туре спрашивают «наибольшее значение» в задачах, где значение единственное). Проверка: $\cos\varphi = \frac rh = \frac{8}{32{,}5}$, и по формуле площади проекции $(S_1 + S_2 + S_3)\cos\varphi = 1462{,}5 \cdot \frac{8}{32{,}5} = 360 = S_0$.

Второе прочтение: равные углы между плоскостями

Если «равные углы с основанием» — это углы между плоскостями (от $0^\circ$ до $90^\circ$), то $O$ может лежать и вне основания: годится любая точка, равноудалённая от трёх прямых сторон, — ещё и центры вневписанных окружностей. При этом высоты граней по-прежнему равны $h = 32{,}5$, а при одном ребре двугранный угол тупой: $180^\circ - \varphi$.

Радиусы вневписанных окружностей $\frac{S_0}{p - a}$: $\frac{360}{20} = 18$ (у стороны $25$), $\frac{360}{16} = 22{,}5$ (у стороны $29$), $\frac{360}{9} = 40$ (у стороны $36$). Вершина существует, только если $\rho < h = 32{,}5$, — последняя точка не годится. Объёмы $120\sqrt{32{,}5^2 - 18^2} = 120\sqrt{732{,}25} \approx 3247{,}2$ и $120\sqrt{32{,}5^2 - 22{,}5^2} = 120\sqrt{550} = 600\sqrt{22} \approx 2814{,}249$. При этом прочтении наименьший объём $600\sqrt{22} \approx 2814{,}249$.

Официальный ответ $3780$ соответствует первому прочтению; поле ответа на странице проверяет его.