Задача 6. Равные проекции медианы

Равные проекции — равнобедренный треугольник ABM

Проекция отрезка $BM$ на прямую равна $BM \cdot \cos\varphi$, где $\varphi$ — угол между прямыми ($0^\circ \le \varphi \le 90^\circ$). Проекции на $AB$ и $AC$ равны, значит, прямая $BM$ образует с прямыми $AB$ и $AC$ равные углы.

В треугольнике $ABM$ угол между прямыми $BM$ и $AB$ равен $\angle ABM$ или $180^\circ - \angle ABM$, а между $BM$ и $AC$ — $\angle AMB$ или $180^\circ - \angle AMB$. Их равенство означает $\angle ABM = \angle AMB$ или $\angle ABM + \angle AMB = 180^\circ$; второе невозможно — сумма двух углов треугольника меньше $180^\circ$. Итак, $\angle ABM = \angle AMB$, треугольник $ABM$ равнобедренный: $AM = AB$, а $AC = 2AM = 2AB$.

Проекция через стороны

Пусть $AB = AM = c$, $AC = 2c$, $BC = a$, $a^2 = 9 \cdot 193 = 1737$. В равнобедренном треугольнике $ABM$ косинус угла при основании равен $\frac{BM/2}{c}$, поэтому проекция $BM$ на $AB$ (и на $AC$) равна $BM \cdot \frac{BM}{2c} = \frac{BM^2}{2c}$.

По формуле длины медианы $BM^2 = \frac{2a^2 + 2c^2 - (2c)^2}{4} = \frac{a^2 - c^2}{2}$. Значит,

Второй корень отрицательный. Стороны $15$, $30$, $3\sqrt{193} \approx 41{,}7$: треугольник существует, так как $15 < 3\sqrt{193} < 45$.

Биссектриса

По формуле квадрата биссектрисы $AL^2 = AB \cdot AC - BL \cdot LC = AB \cdot AC\left(1 - \frac{BC^2}{(AB + AC)^2}\right)$:

Проверка через угол: $\cos A = \frac{30^2 + 15^2 - 1737}{2 \cdot 30 \cdot 15} = -0{,}68$, $\cos\frac A2 = \sqrt{\frac{1 - 0{,}68}{2}} = 0{,}4$, $AL = \frac{2 \cdot 15 \cdot 30 \cdot 0{,}4}{45} = 8$. Угол $A$ тупой, поэтому основания перпендикуляров на рисунке лежат на продолжениях сторон — проекции берутся на прямые. Ответ: $8$.