Задача 2. Разность квадратов и степень простого

Разложение на множители

$4x^2 - y^2 = (2x - y)(2x + y)$. Обозначим $u = 2x - y$, $v = 2x + y$ — это целые числа, и $uv = 31^{405}$. Обратно, по $u$ и $v$ числа восстанавливаются однозначно:

Значит, решений $(x; y)$ столько же, сколько пар $(u; v)$ с $uv = 31^{405}$, для которых эти дроби целые.

Все пары множителей

Число $31$ простое, поэтому каждый делитель $31^{405}$ — это $31^i$, и множители одного знака:

Всего $2 \cdot 406 = 812$ пар $(u; v)$.

Когда x и y целые

$u$ и $v$ нечётные, поэтому $v - u$ чётно, и $y$ всегда целое.

Для $x$ нужно, чтобы $u + v = \pm\left(31^i + 31^{405 - i}\right)$ делилось на $4$. Так как $31 \equiv -1 \pmod 4$,

Сумма показателей $405$ нечётна, поэтому $i$ и $405 - i$ разной чётности, и $(-1)^i + (-1)^{405 - i} = 0$. Значит, $x$ целое при любом $i$.

Ответ и роль нечётной степени

Все $812$ пар множителей дают решения, и разные пары дают разные решения. Ответ: $812$.

Нечётность степени здесь важна. Например, для $4x^2 - y^2 = 31^2$ сумма $(-1)^i + (-1)^{2 - i} = \pm 2$ не делится на $4$, и решений нет вовсе. А если бы простое давало остаток $1$ при делении на $4$, сумма была бы равна $2$ — тоже ни одного решения.