Физтех 2024/25 · Математика · 11 кл., №8 — решение · Отборочный этап

Условие

Площади трёх земельных участков образуют геометрическую прогрессию. С трёх участков берётся налог общей суммы $S$ которая распределяется пропорционально площади участков. Площадь каждого участка увеличили на $13$ гектаров, в результате чего площадь большего участка стала ровно в $2$ раза больше площади меньшего. Если теперь налог той же суммы $S$ распределить по трём участками пропорционально их площади, то окажется, что с меньшего участка надо взять на $3{,}5$ тысячи рублей больше налога, а с большего — на $4$ тысячи рублей меньше налога. Найдите первоначальную площадь наименьшего участка. Ответ укажите в гектарах.

О задаче · 11 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Отборочный этап, второй тур (2 попытка)
Предмет / класс: Математика · 11 класс
Сезон: 2024/25

Сумма налога $S$ неизвестна, и её не спрашивают. Как изменение налога с участка зависит от его площади? Нельзя ли избавиться от $S$ поделив одно изменение на другое? В модели подбирай меньший участок и знаменатель прогрессии. Ниже можно сверить ответ.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеТри участка и налог

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Три участка и налог

При каких площадях участков изменения налога будут именно такими, как в условии?

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Подсказка для решения без модели

Если модель не открылась, попробуй так. Возьми участки 4, 8, 16 га и налог S = 280. Посчитай налог с каждого до и после увеличения всех участков на 4 га. Что получится, если поделить изменение у меньшего на изменение у большего? Зависит ли это от S?

Подсказка 1

Пусть площади $c < b < a$ $T = a + b + c$ Налог с участка площади $X$ был $\frac{SX}{T}$ стал $\frac{S(X + 13)}{T + 39}$ Изменение равно $\frac{13S(T - 3X)}{T(T + 39)}$ .

Подсказка 2

Поделите изменения у меньшего и большего участков: $\frac{T - 3c}{T - 3a} = \frac{3{,}5}{-4}$ — сумма $S$ сократилась. Подставьте $b = cr$ $a = cr^2$

Разобрать решение по шагам

Как меняется налог с одного участка

Пусть площади участков $c < b < a$ $b = cr$ $a = cr^2$ $r > 1$ (при $r = 1$ участки равны и налог ни с одного не изменился бы). Обозначим $T = a + b + c$ Налог с участка площади $X$ был $\frac{SX}{T}$ после увеличения всех участков на $13$ га стал $\frac{S(X + 13)}{T + 39}$ Изменение:

\frac{S(X + 13)}{T + 39} - \frac{SX}{T} = \frac{S\bigl(T(X + 13) - X(T + 39)\bigr)}{T(T + 39)} = \frac{13S\,(T - 3X)}{T(T + 39)}.

Налог растёт у участков меньше среднего ( $X < \frac T3$ ) и падает у больших — так и сказано в условии.

Сумма S сокращается

Поделим изменение у меньшего участка на изменение у большего: множитель $\frac{13S}{T(T + 39)}$ сокращается,

\frac{T - 3c}{T - 3a} = \frac{3{,}5}{-4} \iff -4(a + b - 2c) = 3{,}5(b + c - 2a) \iff 2a - 5b + 3c = 0.

Подставим $a = cr^2$ $b = cr$ и сократим на $c$

2r^2 - 5r + 3 = 0 \iff (r - 1)(2r - 3) = 0.

Корень $r = 1$ исключён, значит, $r = \frac32$

Первое условие даёт площадь

После увеличения больший участок вдвое больше меньшего: $cr^2 + 13 = 2(c + 13)$ то есть $\frac94 c + 13 = 2c + 26$ $\frac c4 = 13$ $c = 52$ Участки $52$ $78$ и $117$ га.

Проверка: такая сумма S есть

$T = 247$ $T + 39 = 286$ Изменение у меньшего участка $\frac{13S(247 - 156)}{247 \cdot 286} = \frac{7S}{418}$ ; оно равно $3{,}5$ при $S = 209$ тысячам рублей. Тогда у большего $\frac{13S(247 - 351)}{247 \cdot 286} = -\frac{8S}{418} = -4$ — ровно на $4$ тысячи меньше. После увеличения участки $65$ $91$ $130$ и $130 = 2 \cdot 65$ Ответ: $52$ га.

Проверка

Для каждой версии найденные участки выполняют оба условия при положительной сумме $S$ а при другом знаменателе прогрессии (с подогнанным первым условием) изменение налога у большего участка уже не совпадает с данным. Модель меняет площади, находит $S$ по меньшему участку и считает изменение у большего. Другие версии: ID 3814 (уменьшили на $5$ га, в $10$ раз): $r = 2{,}5$ $c = \frac{-5 \cdot 9}{6{,}25 - 10} = 12$ ; ID 3813 (на $4$ га, в $5$ раз): $r = 3$ $c = \frac{4 \cdot 4}{9 - 5} = 4$ ; ID 3812 (уменьшили на $1$ га, в $5$ раз): $r = 2{,}2$ $c = \frac{-1 \cdot 4}{4{,}84 - 5} = 25$ .

Ответ

$52$ га.

Ответ

$52$ га.

Главная идея

Изменение налога с участка X пропорционально T − 3X, поэтому в отношении изменений у меньшего и большего участков сумма S сокращается: (T − 3c) : (T − 3a) = 3,5 : (−4), откуда r = 3/2, а первое условие даёт c = 52.

Неизвестная общая величина (здесь S) входит множителем в несколько условий — делим одно условие на другое.

Где легко ошибиться

Пытаться найти S; не отбросить корень r = 1; перепутать, у какого участка налог вырос; ошибиться в знаке при уменьшении площадей (две версии).

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · математика · 11 класс · 2024/25 · отборочный этап, второй тур (2 попытка). Задача 8, версия с ID 3811 — первая в официальном файле; другие версии этого номера (ID 3814, 3813, 3812) можно выбрать в модели.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 7) ↗ · Ответы и решения организатора ↗ · Архив заданий олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение записано до знакомства с решениями организатора; затем ответ совпадает с ответом организатора («Решения М11 2 попытка», стр. 8–9 ↗: ID 3811: 52; ID 3814: 12; ID 3813: 4; ID 3812: 25.). Сверены все четыре официальные версии этого номера.

Продолжить тему: Уравнения и системы →

Тема, знания и приёмы

Уравнения и системы · Начальный вход

Геометрическая прогрессия
Деление пропорционально
Квадратные уравнения

Приёмы решения: Удачная подстановка или замена · Разложение на множители

Задать вопрос по задаче →