Задача 7. Отношение разностей далёких членов

Разности соседних членов

Перепишем соотношение: $3x_{n+2} - 4x_{n+1} + x_n = 3(x_{n+2} - x_{n+1}) - (x_{n+1} - x_n) = 0$. Для разностей $y_n = x_{n+1} - x_n$ это значит

Каждый следующий «прыжок» между соседними членами в три раза короче предыдущего.

Ни одна разность не равна нулю

Если $y_1 = 0$, то все $y_n = 0$ и все члены равны — это запрещено условием. Значит, $y_1 \ne 0$, а тогда и все $y_n \ne 0$ и одного знака. В частности, знаменатель выражения не равен нулю.

Выражение через одну разность

Разность двух членов — сумма прыжков между ними:

Пусть $y_{2024} = t \ne 0$; тогда $y_{2023} = 3t$, $y_{2022} = 9t$, $y_{2021} = 27t$, $y_{2020} = 81t$:

Значение одно — оно и наибольшее

Для любой подходящей последовательности выражение равно $2{,}7$, а такие последовательности есть: например, $x_1 = 0$, $x_2 = 1$ и дальше по соотношению. Поэтому «наибольшее возможное значение» — это единственное значение $2{,}7$; округлять не нужно.

В общем виде для соотношения $a x_{n+2} - (a + 1)x_{n+1} + x_n = 0$ получается $\frac{a^4 + a^3}{a^3 + a^2 + a + 1} = \frac{a^3}{a^2 + 1}$.