Физтех 2024/25 · Математика · 11 кл., №1 — решение · Отборочный этап

Условие

Олег выписал в строку $110$ последовательных натуральных чисел, больших $50\,000$ Оказалось, что $12$ -е число делится на $12$ $75$ -е — на $75$ а $110$ -е — на $110$ Какое наименьшее число могло быть среди выписанных Олегом чисел?

О задаче · 11 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Отборочный этап, второй тур (2 попытка)
Предмет / класс: Математика · 11 класс
Сезон: 2024/25

Обозначь первое число буквой $a$ Чему равно $12$ -е число? А $k$ -е? Что можно сказать про $a - 1$ если $k$ -е число делится на $k$ В модели подбирай первое число и смотри на остатки. Ниже можно сверить ответ.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеСтрока Олега

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Строка Олега

При каком наименьшем первом числе все три отмеченных числа делятся на свои номера?

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Подсказка для решения без модели

Если модель не открылась, попробуй так. Для первого числа a = 50 001 выпиши 12-е, 75-е и 110-е числа и их остатки. Как изменятся остатки, если увеличить a на 1? Что должно выполняться для a − 1?

Подсказка 1

Если первое число равно $a$ то $k$ -е равно $a + k - 1 = (a - 1) + k$ Когда это число делится на $k$

Подсказка 2

Число $a - 1$ должно делиться на $12$ на $75$ и на $110$ то есть на их наименьшее общее кратное. Найдите его и выберите наименьшее подходящее $a > 50\,000$

Разобрать решение по шагам

k-е число делится на k ровно тогда, когда a − 1 делится на k

Пусть первое выписанное число равно $a$ Тогда $k$ -е число равно $a + k - 1 = (a - 1) + k$ Второе слагаемое $k$ делится на $k$ поэтому вся сумма делится на $k$ тогда и только тогда, когда на $k$ делится $a - 1$

Значит, три условия задачи — это три условия на одно число $a - 1$ оно делится на $12$ на $75$ и на $110$

Наименьшее общее кратное

$12 = 2^2 \cdot 3$ $75 = 3 \cdot 5^2$ $110 = 2 \cdot 5 \cdot 11$ Число делится на все три, ровно когда оно делится на

\text{НОК}(12, 75, 110) = 2^2 \cdot 3 \cdot 5^2 \cdot 11 = 3300.

Итак, подходят ровно числа $a = 3300q + 1$ где $q$ — целое неотрицательное, и для каждого такого $a$ все три условия выполнены.

Наименьшее подходящее первое число

Наименьшее из выписанных чисел — первое, $a$ Все числа больше $50\,000$ поэтому $a > 50\,000$

3300 \cdot 15 + 1 = 49\,501 < 50\,000, \qquad 3300 \cdot 16 + 1 = 52\,801.

Проверка: $12$ -е число $52\,812 = 12 \cdot 4401$ $75$ -е число $52\,875 = 75 \cdot 705$ $110$ -е число $52\,910 = 110 \cdot 481$ Ответ: $52\,801$

Проверка

Перебор всех первых чисел от $50\,001$ подряд находит первое подходящее $52\,801$ Модель для любого первого числа выписывает числа на отмеченных местах, их остатки и запоминает твоё наименьшее подходящее. Другие версии: ID 3784: $\text{НОК}(36, 40, 110) = 3960$ , $3960 \cdot 13 + 1 = 51\,481$ ; ID 3783: $\text{НОК}(12, 50, 130) = 3900$ , $3900 \cdot 13 + 1 = 50\,701$ ; ID 3785: $\text{НОК}(24, 45, 130) = 4680$ , $4680 \cdot 11 + 1 = 51\,481$ .

Ответ

$52\,801$

Ответ

$52\,801$

Главная идея

k-е число равно (a − 1) + k, поэтому все условия «k-е делится на k» говорят одно: a − 1 делится на НОК(12, 75, 110) = 3300.

Условия на числа с разными номерами в ряду подряд идущих чисел — перейти к одному числу (первому или «a − 1») и наименьшему общему кратному.

Где легко ошибиться

Решать три сравнения по отдельности и запутаться; взять произведение вместо НОК; забыть, что наименьшее из выписанных — первое, а не 12-е.

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · математика · 11 класс · 2024/25 · отборочный этап, второй тур (2 попытка). Задача 1, версия с ID 3782 — первая в официальном файле; другие версии этого номера (ID 3784, 3783, 3785) можно выбрать в модели.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 1) ↗ · Ответы и решения организатора ↗ · Архив заданий олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение записано до знакомства с решениями организатора; затем ответ совпадает с ответом организатора («Решения М11 2 попытка», стр. 1 ↗: ID 3782: 52 801; ID 3784: 51 481; ID 3783: 50 701; ID 3785: 51 481.). Сверены все четыре официальные версии этого номера.

Продолжить тему: Делимость и простые множители →

Тема, знания и приёмы

Делимость и простые множители · Нужна школьная база

Признаки делимости
Наименьшее общее кратное

Приёмы решения: Сравнение остатков

Задать вопрос по задаче →