Задача 5. Общая часть двух квадратов

Общая часть — прямоугольник

Стороны квадратов попарно параллельны. Направим оси вдоль сторон первого квадрата. Пусть центр второго квадрата сдвинут относительно центра первого на $x$ по одной оси и на $y$ по другой; из соображений симметрии $x, y \ge 0$, и $x^2 + y^2 = d^2 = 0{,}64$.

Проекции квадратов на первую ось — отрезки длины $1$, сдвинутые на $x$; они перекрываются по отрезку длины $1 - x$ (здесь $x \le 0{,}8 < 1$). Так же по второй оси — $1 - y$. Общая часть — прямоугольник площади $S = (1 - x)(1 - y)$.

Площадь через сумму сдвигов

Раскроем и выделим квадрат суммы $s = x + y$:

Поэтому $S \ge \frac{1 - d^2}{2} = \frac{1 - 0{,}64}{2} = 0{,}18$, и равенство — ровно при $x + y = 1$.

Наименьшее значение достигается

Нужны $x, y \ge 0$ с $x + y = 1$ и $x^2 + y^2 = 0{,}64$. Тогда $2xy = 1 - 0{,}64 = 0{,}36$, и $x$, $y$ — корни уравнения $t^2 - t + 0{,}18 = 0$:

Оба корня неотрицательны и меньше $1$, так что такое расположение есть. Площадь общей части $(1 - x)(1 - y) = 1 - 1 + 0{,}18 = 0{,}18$. Ответ: $0{,}18$.

Когда направление сдвига меняется от стороны к диагонали, сумма $x + y$ растёт от $d = 0{,}8$ до $d\sqrt2 \approx 1{,}13$, поэтому значение $1$ она проходит. Если бы было $d\sqrt2 < 1$, наименьшая площадь получалась бы при сдвиге по диагонали, а при $d \ge 1$ квадраты можно было бы развести до касания.