Задача 3. Два выражения с синусом и косинусом

Сумма квадратов не зависит от x

Обозначим $a = 1001$, $u = \sin x + a\cos x$, $w = a\sin x - \cos x$. Тогда

Это верно при любом $x$: точка $(u; w)$ всегда лежит на окружности радиуса $\sqrt{1 + a^2}$ с центром в начале координат.

Значение одно — оно и наибольшее

По условию $u = 1000$, поэтому

Для каждого $x$, удовлетворяющего условию, выражение $|1001\sin x - \cos x|$ равно $\sqrt{2002}$. Других значений нет, значит, и наибольшее значение равно $\sqrt{2002}$.

Такие x существуют

Нужно убедиться, что равенство $\sin x + 1001\cos x = 1000$ вообще возможно. $\sin x + 1001\cos x = \sqrt{1 + 1001^2}\,\sin(x + \varphi)$, где $\cos\varphi = \frac{1}{\sqrt{1 + 1001^2}}$, $\sin\varphi = \frac{1001}{\sqrt{1 + 1001^2}}$. Так как $1000 < \sqrt{1 + 1001^2}$, уравнение $\sin(x + \varphi) = \frac{1000}{\sqrt{1 + 1001^2}}$ имеет решения (на каждом обороте их два, например $x \approx 2{,}62^\circ$ и $x \approx 357{,}50^\circ$).

На окружности это вертикальная прямая $u = 1000$, которая пересекает окружность в двух точках $(1000; \pm\sqrt{2002})$.

Округление

$44{,}743^2 = 2001{,}936\ldots < 2002$ и $44{,}744^2 = 2002{,}025\ldots > 2002$, а $44{,}7435^2 = 2001{,}98\ldots < 2002$. Значит, $44{,}7435 < \sqrt{2002} < 44{,}744$, и после округления до трёх знаков получаем $44{,}744$.