Физтех 2024/25 · Математика · 11 кл., №4 — решение · Отборочный этап

Условие

Натуральное число $N$ имеет $198$ различных натуральных делителей (включая единицу и само число $N$ ), а количество различных натуральных делителей числа $13N$ (включая единицу и само число $13N$ ) равно $264$ Определите минимально возможное значение $N$

О задаче · 11 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Отборочный этап, второй тур (2 попытка)
Предмет / класс: Математика · 11 класс
Сезон: 2024/25

Как число делителей зависит от разложения на простые множители? Что меняется в разложении при умножении на $13$ Сравни $198$ и $264$ В модели собирай $N$ из степеней простых. Ниже можно сверить ответ.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеСобираем N из простых

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Собираем N из простых

Каким должно быть наименьшее N, у которого 198 делителей, а у 13N — 264?

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Подсказка для решения без модели

Если модель не открылась, попробуй так. Возьми N = 2² · 13: у него 3 · 2 = 6 делителей, а у 13N = 2² · 13² — 3 · 3 = 9. Во сколько раз выросло число делителей? Что будет для N = 2² · 13²?

Подсказка 1

Если $N = p_1^{e_1} \cdots p_k^{e_k}$ , то делителей $(e_1 + 1)\cdots(e_k + 1)$ Пусть $13$ входит в $N$ в степени $t$ $N = 13^t M$ $M$ не делится на $13$ Тогда у $13N$ множитель $t + 1$ заменяется на $t + 2$

Подсказка 2

$\frac{t + 2}{t + 1} = \frac{264}{198} = \frac43$ , поэтому $t = 2$ и $d(M) = 66$ Найдите наименьшее $M$ с $66$ делителями: разложите $66$ в произведение сомножителей всеми способами.

Разобрать решение по шагам

Сколько раз 13 входит в N

Число делителей $n = p_1^{e_1} \cdots p_k^{e_k}$ равно $d(n) = (e_1 + 1)\cdots(e_k + 1)$ : делитель выбирает показатель каждого простого от $0$ до $e_i$

Пусть $N = 13^t M$ где $M$ не делится на $13$ Тогда $13N = 13^{t+1}M$ и

d(N) = (t + 1)\,d(M) = 198, \qquad d(13N) = (t + 2)\,d(M) = 264.

Делим: $\frac{t + 2}{t + 1} = \frac{264}{198} = \frac43$ , $3t + 6 = 4t + 4$ $t = 2$ Тогда $d(M) = \frac{198}{3} = 66$ .

Наименьшее число с 66 делителями без множителя 13

Если $d(M) = (f_1)(f_2)\cdots$ с сомножителями $f_1 \ge f_2 \ge \ldots \ge 2$ , то $M$ наименьшее, когда показатели $f_1 - 1 \ge f_2 - 1 \ge \ldots$ стоят при простых $2, 3, 5, \ldots$ по порядку: если бы больший показатель стоял при большем простом, обмен показателями уменьшил бы число. Разложения $66 = 2 \cdot 3 \cdot 11$

разложение	$M$
$66$	$2^{65}$
$33 \cdot 2$	$2^{32} \cdot 3$
$22 \cdot 3$	$2^{21} \cdot 3^2 = 18\,874\,368$
$11 \cdot 6$	$2^{10} \cdot 3^5 = 248\,832$
$11 \cdot 3 \cdot 2$	$2^{10} \cdot 3^2 \cdot 5 = 46\,080$

Наименьшее $M = 46\,080$ простые $2, 3, 5$ не равны $13$ так что условие « $M$ не делится на $13$ » выполнено.

Ответ и проверка

При $t = 2$ число $N = 13^2 M$ наименьшее, когда наименьшее $M$

N = 169 \cdot 46\,080 = 2^{10} \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 13^2 = 7\,787\,520.

Проверка: $d(N) = 11 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 3 = 198$ , $d(13N) = 11 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 4 = 264$ . Ответ: $7\,787\,520$

Проверка

Для версии ID 3796 с наименьшим ответом перебор всех подходящих $N$ меньше ответа не находит ни одного с нужными числами делителей. Модель собирает $N$ из степеней простых, рисует столбики делителей и записывает твоё наименьшее подходящее $N$ Другие версии: ID 3798: $\frac{350}{280} = \frac54$ , $t = 3$ $d(M) = 70$ $M = 2^6 \cdot 3^4 \cdot 5$ , $N = 17^3 \cdot 25\,920 = 127\,344\,960$ ; ID 3797 ( $27N = 3^3 N$ ): $\frac{t + 4}{t + 1} = \frac{702}{468} = \frac32$ , $t = 5$ $d(M) = 78$ $M = 2^{12} \cdot 5^2 \cdot 7$ (без тройки), $N = 3^5 \cdot 716\,800 = 174\,182\,400$ ; ID 3796 ( $529N = 23^2 N$ ): $\frac{t + 3}{t + 1} = \frac32$ , $t = 3$ $d(M) = 30$ $M = 2^4 \cdot 3^2 \cdot 5$ , $N = 23^3 \cdot 720 = 8\,760\,240$ .

Ответ

$7\,787\,520$

Ответ

$7\,787\,520$

Главная идея

Отношение чисел делителей 264 : 198 = (t + 2) : (t + 1) находит степень 13 в N (t = 2); остальная часть M с 66 делителями наименьшая при M = 2¹⁰ · 3² · 5.

Число делителей после умножения на простое — сравниваем один множитель (t + 1) формулы числа делителей; наименьшее число с данным числом делителей — перебор разложений и большие показатели у меньших простых.

Где легко ошибиться

Считать, что 13 не входит в N (t = 0); перебрать не все разложения 66; поставить больший показатель при большем простом; забыть, что в версии с 27N умножают на 3³.

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · математика · 11 класс · 2024/25 · отборочный этап, второй тур (2 попытка). Задача 4, версия с ID 3795 — первая в официальном файле; другие версии этого номера (ID 3798, 3797, 3796) можно выбрать в модели.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 3) ↗ · Ответы и решения организатора ↗ · Архив заданий олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение записано до знакомства с решениями организатора; затем ответ совпадает с ответом организатора («Решения М11 2 попытка», стр. 4 ↗: ID 3795: 7 787 520; ID 3798: 127 344 960; ID 3797: 174 182 400; ID 3796: 8 760 240.). Сверены все четыре официальные версии этого номера.

Продолжить тему: Делимость и простые множители →

Тема, знания и приёмы

Делимость и простые множители · Нужна школьная база

Формула числа делителей
Разложение на простые множители

Приёмы решения: Разложение на множители · Ограниченный перебор

Задать вопрос по задаче →