Математика · 11 класс · второй тур

Олег выписал в строку $110$ последовательных натуральных чисел, больших $50\,000$. Оказалось, что $12$-е число делится на $12$, $75$-е — на $75$, а $110$-е — на $110$. Какое наименьшее число могло быть среди выписанных Олегом чисел?

Найдите количество пар целых чисел $(x; y)$, удовлетворяющих уравнению $4x^2 - y^2 = 31^{405}$.

Про вещественное число $x$ известно, что $\sin x + 1001\cos x = 1000$. Найдите максимальное значение выражения $|1001\sin x - \cos x|$. Ответ округлите до трёх знаков после запятой.

Натуральное число $N$ имеет $198$ различных натуральных делителей (включая единицу и само число $N$), а количество различных натуральных делителей числа $13N$ (включая единицу и само число $13N$) равно $264$. Определите минимально возможное значение $N$.

Расстояние между центрами двух квадратов со стороной $1$ равно $0{,}8$, а одна из сторон первого квадрата параллельна одной из сторон второго. Какую наименьшую площадь может иметь их общая часть?

В треугольнике $ABC$ со стороной $BC = 3\sqrt{193}$ ортогональные проекции медианы $BM$ на прямые $AB$ и $AC$ равны и имеют длину $25{,}2$. Найдите длину биссектрисы $AL$ треугольника $ABC$.

В бесконечной числовой последовательности $x_1, x_2, x_3, \ldots, x_n, \ldots$ не все члены равны между собой. Для всех $n \in \mathbb{N}$ справедливо соотношение $3x_{n+2} - 4x_{n+1} + x_n = 0$. Найдите наибольшее возможное значение выражения $\dfrac{x_{2022} - x_{2020}}{x_{2025} - x_{2021}}$. При необходимости ответ округлите до трёх знаков после запятой.

Площади трёх земельных участков образуют геометрическую прогрессию. С трёх участков берётся налог общей суммы $S$, которая распределяется пропорционально площади участков. Площадь каждого участка увеличили на $13$ гектаров, в результате чего площадь большего участка стала ровно в $2$ раза больше площади меньшего. Если теперь налог той же суммы $S$ распределить по трём участками пропорционально их площади, то окажется, что с меньшего участка надо взять на $3{,}5$ тысячи рублей больше налога, а с большего — на $4$ тысячи рублей меньше налога. Найдите первоначальную площадь наименьшего участка. Ответ укажите в гектарах.

В треугольной пирамиде боковые грани, имеющие площади $\frac{1625}{4}$, $\frac{1885}{4}$, $585$, образуют равные углы с основанием. Площадь основания равна $360$. Какой наименьший объём может иметь такая пирамида? Если необходимо, ответ округлите до трёх знаков после запятой.

В некоторые из $40$ конвертов положили по одной открытке. Известно, что количество положенных открыток чётно. За одну операцию можно выбрать любые два конверта и узнать, есть ли в этих конвертах хотя бы одна открытка. За какое наименьшее количество таких операций можно гарантированно найти какой-нибудь конверт с открыткой?