Функция и максимум

Находим знак и значение в нуле

Подставим $y=x$. Получаем

откуда $f(x)\ge0$ для любого $x$. В частности, $f(0)\ge0$. Теперь берём $x=y=0$:

Следовательно, $f(0)=0$.

Получаем нижнюю границу

Положим $y=0$. Тогда

Чтобы максимум равнялся $2f(x)$, должно быть $2f(x)\ge|x|$. Значит, $f(x)\ge\frac{|x|}{2}$ для всех $x$.

Превращаем границу в равенство

При $y=-x$ имеем

Поэтому $f(x)+f(-x)=|x|$. Но каждый из двух членов не меньше $\frac{|x|}{2}$. Их сумма уже равна сумме этих нижних границ. Значит, оба члена достигают своей границы:

Других функций быть не может.

Проверяем найденную функцию при любых аргументах

Подставим $f(x)=\frac{|x|}{2}$ в исходное уравнение. Слева получится $|x|+|y|$, справа — $\max\{|x+y|,|x-y|\}$. Если $x$ и $y$ одного знака, $|x+y|=|x|+|y|$, а $|x-y|$ не больше этой суммы. Если знаки противоположны, $|x-y|=|x|+|y|$, а $|x+y|$ не больше. При нулевом аргументе также всё верно. Следовательно, равенство выполняется всегда, и функция действительно подходит.