Луч и два периметра

Задаём угол и область его значений

Пусть $\angle BAC=\alpha$ и $BC=b$. Тогда $\angle ABC=90^\circ-\alpha$. Поскольку луч $BN$ проходит внутри этого угла и образует с $BA$ угол $45^\circ$, получаем

Следовательно, $0^\circ<\alpha<45^\circ$ и $0^\circ<\beta<45^\circ$. Точки на луче расположены в порядке $B,M,N$. Равенство периметров после сокращения $CM$ даёт

Так как $MN=BN-BM$, это равносильно

Выражаем нужные длины

В прямоугольном треугольнике $BCH$ гипотенуза $BC=b$, а

Треугольник $BHM$ прямоугольный с углом $B=45^\circ$, поэтому $BM=\sqrt2\,BH=\sqrt2\,b\sin\alpha$. В прямоугольном треугольнике $BCN$ угол $B$ равен $\beta$. Значит,

Подставив длины в $BC+2BM=CN+BN$ и разделив на $b>0$, получаем

Доказываем, что подходящий угол единственен

При увеличении $\alpha$ от $0^\circ$ до $45^\circ$ левая часть строго растёт, поскольку растёт $\sin\alpha$. Правая часть строго убывает: угол $\beta=45^\circ-\alpha$ уменьшается, а для положительных острых углов и $\operatorname{tg}\beta$, и $\frac1{\cos\beta}$ строго возрастают с $\beta$. Поэтому равенство может выполниться не более чем при одном значении $\alpha$. Чтобы найти этот угол, достаточно предъявить один точный подходящий кандидат.

Проверяем угол 15°

Если $\alpha=15^\circ$, то $\beta=30^\circ$. Справа имеем

Слева используем $\sin15^\circ=\frac{\sqrt6-\sqrt2}{4}$:

Кандидат подходит, а единственность уже доказана. При $\alpha=15^\circ$ луч действительно находится внутри угла $B=75^\circ$ и пересекает указанные отрезки, поэтому геометрическая конфигурация существует.