ОММО 2025/26 · Математика · 10–11 кл., №6 — решение · финал

Условие

Вася в неизвестном порядке записал $\sin x$ $\cos x$ $\operatorname{tg}x$ и ещё одно число $Y$ причём $Y\ne\operatorname{ctg}x$ Все четыре записи — различные положительные числа. Всегда ли по самим четырём числам Петя сможет однозначно установить, где синус, где косинус, где тангенс и где $Y$

О задаче · 10–11 классы · баллы не подтверждены

Олимпиада: Объединённая межвузовская математическая олимпиада
Предмет / класс: Математика · 10–11 классы
Сезон / этап: 2025/26 · Заключительный этап
Комплект: Вариант 1 · задача 6

Официальные баллыНе подтверждены

Сложность Popov Academy—/5 · предварительно

Для подготовки: 10–11 классы.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

Для ответа «не всегда» достаточно одного набора из четырёх чисел, который допускает две разные правильные расстановки.

Подсказка 2

Ищите два острых угла $x$ и $z$ так, чтобы $\sin z=\operatorname{tg}x$ и $\operatorname{tg}z=\cos x$ ; четвёртое число будет $\cos z$

Разобрать решение по шагам

Строим набор для проверки

Рассмотрим четыре положительных числа:

\begin{aligned}A&=\sqrt{1-\frac1{\sqrt2}},&B&=\sqrt{\frac1{\sqrt2}},\\[0.45em]C&=\sqrt{\sqrt2-1},&D&=\sqrt{2-\sqrt2}.\end{aligned}

Покажем, что один этот набор допускает два объяснения. Для удобства положим $r=\sqrt2$ Тогда

A^2=1-\frac r2,\quad B^2=\frac r2,\quad C^2=r-1,\quad D^2=2-r.

Все эти числа лежат между $0$ и $1$

Первая расстановка

Имеем $A^2+B^2=1$ Поэтому существует острый угол $x$ с $\sin x=A$ и $\cos x=B$ Кроме того,

\left(\frac AB\right)^2=\frac{1-r/2}{r/2}=r-1=C^2.

Числа положительны, значит, $\operatorname{tg}x=\frac AB=C$ . Первая допустимая расстановка:

\sin x=A,\quad\cos x=B,\quad\operatorname{tg}x=C,\quad Y=D.

Поскольку $C<1$ $\operatorname{ctg}x=\frac1C>1$ , а $D<1$ требование $Y\ne\operatorname{ctg}x$ выполнено.

Вторая расстановка

Теперь $C^2+D^2=1$ Поэтому существует острый угол $z$ с $\sin z=C$ и $\cos z=D$ Также

\left(\frac CD\right)^2=\frac{r-1}{2-r}=\frac r2=B^2,

откуда $\operatorname{tg}z=B$ Получаем другую расстановку тех же чисел:

\sin z=C,\quad\cos z=D,\quad\operatorname{tg}z=B,\quad Y=A.

Здесь $\operatorname{ctg}z=\frac1B>1$ , а $A<1$ Дополнительное условие опять соблюдено.

Проверяем различие всех записей

Остаётся исключить скрытое совпадение чисел. Из $\frac43<\sqrt2<\frac32$ следует $A^2<C^2<D^2<B^2$ а значит, $A<C<D<B$ Действительно,

\begin{aligned}C^2-A^2&=\frac{3\sqrt2}{2}-2>0,\\[0.45em]D^2-C^2&=3-2\sqrt2>0,\\[0.45em]B^2-D^2&=\frac{3\sqrt2}{2}-2>0.\end{aligned}

Таким образом, все четыре числа положительны и различны, но их роли неоднозначны. Это полноценный контрпример, поэтому ответ на вопрос «всегда ли?» отрицательный.

Ответ

Нет. Набор из чисел

\sqrt{1-\frac1{\sqrt2}},\quad\sqrt{\frac1{\sqrt2}},\quad\sqrt{\sqrt2-1},\quad\sqrt{2-\sqrt2}

допускает две разные расстановки.

Главная идея

Опровержение утверждения «всегда» требует одного полностью проверенного контрпримера; в нём необходимо проверить каждое дополнительное ограничение.

Как заметить эту идею в другой задаче

Вопрос содержит «всегда ли», а роли нескольких чисел скрыты. Достаточно одного набора с двумя допустимыми расстановками, но в каждой нужно проверить все дополнительные запреты.

Возможная ошибка

Найти две похожие тройки, но не проверить четвёртое число, условие $Y\ne\operatorname{ctg}x$ или попарную различность всех записей.

Источник и примечания

Официальный источник

PDF организатора · страницы 1 · задача 6 ↗

Объединённая межвузовская математическая олимпиада · 2025/26 · математика · 10–11 классы · заключительный этап · вариант 1.

Официальное решение · страницы 3 ↗

Авторский разбор Popov Academy.

Можете объяснить решение своими словами?

Тема, знания и приёмы

Тригонометрия · Продвинутая подготовка

Синус, косинус, тангенс
основное тождество

Приёмы решения: Контрпример

Задать вопрос по задаче →