Объединённая межвузовская математическая олимпиада

Определите, рационально или иррационально число

Все корни понимаются как действительные.

Шесть участников разделены на две команды по три человека: одну составляют только рыцари, другую — только лжецы. Рыцарь произносит истинное утверждение, лжец — ложное. Команды решали три задачи: алгебру, геометрию и комбинаторику. Каждый рассказывает о результате своей команды.

Артём утверждает, что его команда справилась со всеми тремя задачами. Борис — что она решила геометрию и комбинаторику, но не алгебру. Василий — что она решила алгебру и геометрию, но не комбинаторику. Григорий — что его команда решила алгебру. Дмитрий — что геометрия осталась нерешённой. Евгений — что единственной нерешённой задачей была комбинаторика.

Назовите трёх рыцарей.

Владимир и Пётр бегут по одной круговой дорожке. Скорость каждого постоянна. При беге навстречу друг другу промежуток между последовательными встречами равен $3$ минутам, а при беге в одном направлении — $6$ минутам. За какое время Владимир делает один полный круг? Найдите все возможности.

В треугольнике $ABC$ угол $C$ прямой, а $CH$ — высота к гипотенузе $AB$. Из $B$ внутри угла $ABC$ проведён луч под углом $45^\circ$ к $BA$. Он пересекает $CH$ в $M$ и $AC$ в $N$. Периметры треугольников $BCM$ и $MCN$ одинаковы. Найдите угол $BAC$.

Найдите все действительные $x$, для которых

Здесь $\lfloor t\rfloor$ — наибольшее целое число, не превосходящее $t$.

Вася в неизвестном порядке записал $\sin x$, $\cos x$, $\operatorname{tg}x$ и ещё одно число $Y$, причём $Y\ne\operatorname{ctg}x$. Все четыре записи — различные положительные числа. Всегда ли по самим четырём числам Петя сможет однозначно установить, где синус, где косинус, где тангенс и где $Y$?

Найдите все действительные значения параметра $a$, при которых система

имеет нечётное число различных действительных решений $(x,y)$.

Основание прямой треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ — прямоугольный треугольник $ABC$ с $\angle ACB=90^\circ$, $AC=3$ см и $BC=4$ см. Высота призмы $12$ см. На диагонали $AC_1$ боковой грани выбрана точка $K$ так, что $AK=\frac{AC_1}{3}$. Муравей движется из $K$ в $B_1$ по поверхности призмы со скоростью $1$ см/с. Каково наименьшее возможное время?

Найдите все функции $f:\mathbb R\to\mathbb R$, для которых при любых действительных $x$ и $y$ выполняется

Для каждого натурального $k\ge1$ задано $a_k=\frac1{k^2+k}$. Натуральные $p$ и $q$, где $p<q$, удовлетворяют равенству

Найдите $p+q$.