Нечётное число пересечений

Используем симметрию

Если $(x,y)$ — решение и $x\ne0$, то $(-x,y)$ тоже решение, причём это другая точка. Все решения вне оси $y$ поэтому разбиваются на пары. Нечётность общего числа зависит только от числа решений на оси $y$. Решений конечное число: первое уравнение задаёт четыре отрезка — стороны ромба, а второе при $a\ne0$ задаёт окружность. Окружность пересекает каждую прямую не более чем в двух точках. При $a=0$ второе уравнение задаёт одну точку.

Открыть модель к этому разбору ↑

Находим возможные непарные точки

При $x=0$ первое уравнение превращается в $4|y|=12$. Поэтому на оси возможны только точки $(0,3)$ и $(0,-3)$. Для точки $(0,3)$ второе уравнение требует $a^2=(3-1)^2=4$. Для точки $(0,-3)$ оно требует $a^2=(-3-1)^2=16$. Одна окружность не может содержать обе точки, поскольку их расстояния до центра $(0,1)$ различны.

Получаем все значения параметра

Если $a^2=4$ или $a^2=16$, ровно одна осевая точка является решением, а все остальные решения образуют пары. Общее число нечётно. При любом другом $a$ осевых решений нет, а число решений чётно, включая возможный ноль. Следовательно,

Отрицательные значения нельзя отбросить: в уравнении стоит $a^2$, а радиус окружности равен $|a|$.