ОММО 2025/26 · Математика · 10–11 кл., №8 — решение · финал

Условие

Основание прямой треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ — прямоугольный треугольник $ABC$ с $\angle ACB=90^\circ$ $AC=3$ см и $BC=4$ см. Высота призмы $12$ см. На диагонали $AC_1$ боковой грани выбрана точка $K$ так, что $AK=\frac{AC_1}{3}$ Муравей движется из $K$ в $B_1$ по поверхности призмы со скоростью $1$ см/с. Каково наименьшее возможное время?

О задаче · 10–11 классы · баллы не подтверждены

Олимпиада: Объединённая межвузовская математическая олимпиада
Предмет / класс: Математика · 10–11 классы
Сезон / этап: 2025/26 · Заключительный этап
Комплект: Вариант 1 · задача 8

Официальные баллыНе подтверждены

Сложность Popov Academy—/5 · предварительно

Для подготовки: 10–11 классы.

Исследуй задачу

Модель с пояснениями к решениюПостроение по шагам 1

Есть пояснения и построения из решения. Открой, когда захочешь воспользоваться этой помощью.

Развёртка проверяет путь и его минимум

На боковой развёртке координата вдоль периметра может продолжаться в обе стороны. Верхнее основание рассматривается отдельно.

1. Через CC₁

От $K=(1,4)$ до $B_1=(7,12)$ смещения $6$ и $8$ длина $10$ Точка $Q$ появляется на сгибе $CC_1$

2. Через AA₁

Другая копия $B_1=(-5,12)$ даёт те же смещения по модулю. Точка $R$ находится на сгибе $AA_1$

3. Выход на верхнее через A₁C₁

После отгиба верхнего основания $B_1=(3,16)$ Прямое расстояние от $K=(1,4)$ уже равно $\sqrt{148}>10$ Для любого другого $P$ ломаная не короче.

Развёртки имеют единый масштаб по обеим координатам. Точки Q и R — сгибы путей, а P в третьем состоянии иллюстрирует оценку для прохода через верхнюю грань.

Модель с пояснениями к решениюОткрыть модель 2

Есть пояснения и построения из решения. Открой, когда захочешь воспользоваться этой помощью.

Муравей на поверхности призмы

Основание имеет стороны $3,4,5$ высота — $12$ Поворачивайте точную модель и сравнивайте два поверхностных пути. Прямая через внутренность не разрешена.

Видимость граней

Изменяются только ракурс, прозрачность и показываемые построения. Длины и углы из условия фиксированы. Автоматического вращения нет.

$K$ лежит на одной трети диагонали $AC_1$ высота $4$ расстояние по грани от $AA_1$ равно $1$

Все статичные виды и пояснения

Исходная точка

$K$ лежит на одной трети диагонали $AC_1$ высота $4$ расстояние по грани от $AA_1$ равно $1$

Путь через CC₁

Кратчайший путь $KQB_1$ проходит по двум соседним боковым граням. В развёртке это прямая длины $10$

Путь через AA₁

Другой путь $KRB_1$ обходит призму в противоположную сторону. У него такая же длина $10$ высота $R$ равна $\frac{16}{3}$

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

Найдите высоту $K$ над нижним основанием и её положение по ширине грани $ACC_1A_1$ Затем разверните боковые грани в полосу.

Подсказка 2

Нужно не только построить короткий путь, но и исключить более выгодный проход через верхнее или нижнее основание.

Разобрать решение по шагам

Отмечаем стартовую точку

Треть диагонали прямоугольника означает треть каждого её координатного приращения. Поэтому $K$ находится на высоте $\frac{12}{3}=4$ см над основанием и на расстоянии $\frac33=1$ см по ширине грани от ребра $AA_1$ До ребра $CC_1$ по ширине остаётся $2$ см, а до верхнего основания по высоте — $8$ см. Гипотенуза основания

AB=\sqrt{3^2+4^2}=5\text{ см}.

Периметр основания равен $3+4+5=12$ см.

Строим боковой путь длины 10

Развернём боковые грани в полосу высоты $12$ см. Возьмём горизонтальную координату вдоль периметра основания: $A$ соответствует $0$ $C$ — $3$ $B$ — $7$ Тогда $K=(1,4)$ а одна копия $B_1=(7,12)$ Прямой отрезок между ними имеет длину

\sqrt{6^2+8^2}=10\text{ см}.

Он пересекает только нужные боковые грани и лежит внутри полосы по высоте, поэтому после сворачивания даёт допустимый путь. В противоположную сторону обхода есть такой же путь: другая копия $B_1$ имеет координату $7-12=-5$ снова на расстоянии $6$ по горизонтали. Точку пересечения этого пути с ребром $CC_1$ обозначим $Q$

Доказываем минимум среди боковых путей

Любой путь только по боковым граням можно развернуть в ту же бесконечную полосу, при необходимости продолжая её копиями. Конечная точка будет $(7+12m,12)$ для целого $m$ Горизонтальное смещение от $K$ равно $6+12m$ его модуль не меньше $6$ Вертикальное смещение равно $8$ Длина любой кривой не меньше расстояния между её концами, поэтому такой путь имеет длину хотя бы

\sqrt{6^2+8^2}=10\text{ см}.

Лишние обходы призмы его не сократят.

Исключаем пути через основания

Если путь касается нижнего основания, он должен сначала опуститься с высоты $4$ до $0$ а затем подняться до $12$ Уже суммарное вертикальное перемещение даёт нижнюю оценку $4+12=16$ см, больше найденных $10$ Рассмотрим путь, который не касается нижнего основания, но впервые выходит на верхнее в точке $P$

Если $P$ лежит на $A_1B_1$ или $B_1C_1$ остаток пути можно заменить отрезком $PB_1$ вдоль этого ребра: он не длиннее исходного остатка. Получится целиком боковой путь, для которого уже доказана оценка $10$ см.

Остаётся $P$ на $A_1C_1$ До $P$ путь не короче прямого $KP$ внутри грани $ACC_1A_1$ а после $P$ — не короче прямого $PB_1$ по верхнему треугольнику. Развернём этот треугольник наружу относительно $A_1C_1$ В плоскости нашей грани

\begin{aligned}K&=(1,4),&A_1&=(0,12),\\[0.45em]C_1&=(3,12),&B_1&=(3,16).\end{aligned}

Поэтому $KP+PB_1$ не меньше расстояния от $(1,4)$ до $(3,16)$ равного

\sqrt{2^2+12^2}=\sqrt{148}>10.

Первое касание верхнего основания, включая границу, находится на одном из трёх верхних рёбер: все возможности учтены. Даже если до этой точки $P$ муравей шёл по другим граням, длина пройденной части не меньше прямого расстояния $KP$

Переводим длину во время

Любой поверхностный путь имеет длину не меньше $10$ см, и два пути такой длины уже построены. Скорость равна $1$ см/с, поэтому минимальное время — $10$ секунд.

Открыть модель к этому разбору ↑

Ответ

$10$ секунд; кратчайший путь имеет длину $10$ см.

Главная идея

Развёртка превращает допустимый поверхностный путь в плоскую кривую. Для доказательства глобального минимума нужно отдельно учесть пути через другие грани.

Как заметить эту идею в другой задаче

Путь проходит по граням тела. Развёртка даёт короткий допустимый путь, но для глобального минимума нужно также исключить все маршруты через другие грани.

Возможная ошибка

Взять прямой отрезок $KB_1$ внутри пространства: муравей может идти только по поверхности. Другая ошибка — сравнить два удобных маршрута и не объяснить, почему третий тип маршрута не короче.

Источник и примечания

Официальный источник

PDF организатора · страницы 1 · задача 8 ↗

Объединённая межвузовская математическая олимпиада · 2025/26 · математика · 10–11 классы · заключительный этап · вариант 1.

Официальное решение · страницы 4, 5 ↗

Авторский разбор Popov Academy.

Можете объяснить решение своими словами?

Тема, знания и приёмы

Расстояния и пути на поверхности · Продвинутая подготовка

Теорема Пифагора
развёртка многогранника

Приёмы решения: Развёртка поверхности · Оценка и достижимость

Задать вопрос по задаче →