Уравнение с целой частью

Вводим целое число

Обозначим $n=\frac{15x^2-7}{5}$. Поскольку это равно целой части, $n$ — целое. Выражаем $x^2$:

Тогда аргумент целой части равен

Используем точное определение

По точному определению целой части получаем

Левая граница даёт $10n\le5n+47$, то есть $5n\le47$. Правая даёт $5n+47<10n+10$, то есть $37<5n$. Вместе:

Между $37$ и $47$ с такой включённостью границ лежат два кратных $5$: $40$ и $45$. Поэтому $n=8$ или $n=9$.

Восстанавливаем и проверяем корни

При $n=8$ имеем $x^2=\frac{47}{15}$, при $n=9$ — $x^2=\frac{52}{15}$. Обе величины положительны, поэтому каждая даёт два корня с противоположными знаками. Если $x^2=\frac{47}{15}$, аргумент целой части равен $\frac{87}{10}$, его целая часть $8$, правая часть тоже $8$. Если $x^2=\frac{52}{15}$, аргумент равен $\frac{92}{10}$, а обе части уравнения равны $9$. Все четыре корня подходят.