ОММО 2025/26 · Математика · 10–11 кл., №10 — решение · финал

Условие

Для каждого натурального $k\ge1$ задано $a_k=\frac1{k^2+k}$ Натуральные $p$ и $q$ где $p<q$ удовлетворяют равенству

a_p+a_{p+1}+\cdots+a_{q-1}=\frac1{43}.

Найдите $p+q$

О задаче · 10–11 классы · баллы не подтверждены

Олимпиада: Объединённая межвузовская математическая олимпиада
Предмет / класс: Математика · 10–11 классы
Сезон / этап: 2025/26 · Заключительный этап
Комплект: Вариант 1 · задача 10

Официальные баллыНе подтверждены

Сложность Popov Academy—/5 · предварительно

Для подготовки: 10–11 классы.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

Представьте $\frac1{k(k+1)}$ как разность двух простых дробей.

Подсказка 2

После сокращения суммы получите $\frac1p-\frac1q=\frac1{43}$ . Выразите $q$ и используйте простоту числа $43$

Разобрать решение по шагам

Сокращаем длинную сумму

Разложим каждый член:

\frac1{k^2+k}=\frac1k-\frac1{k+1}.

В сумме соседние дроби сокращаются:

\begin{aligned}&\left(\frac1p-\frac1{p+1}\right)+\left(\frac1{p+1}-\frac1{p+2}\right)\\[0.45em]&\qquad+\cdots+\left(\frac1{q-1}-\frac1q\right)=\frac1p-\frac1q.\end{aligned}

Значит, $\frac1p-\frac1q=\frac1{43}$ .

Ограничиваем p и выделяем делимость

Поскольку $\frac1q>0$ получаем $\frac1p>\frac1{43}$ то есть $p<43$ После умножения на $43pq$ имеем

43(q-p)=pq\quad\Longrightarrow\quad q=\frac{43p}{43-p}.

Обозначим $d=43-p$ тогда $d$ — целое от $1$ до $42$ Подставим $p=43-d$

q=\frac{43(43-d)}d=\frac{1849}{d}-43.

Для целого $q$ число $d$ должно быть положительным делителем $1849=43^2$

Находим единственную пару и проверяем

Число $43$ простое: оно не делится ни на $2$ ни на $3$ ни на $5$ — все простые числа, не превосходящие $\sqrt{43}$ Поэтому положительные делители $43^2$ — только $1$ $43$ и $1849$ Из них в промежуток от $1$ до $42$ попадает только $d=1$ Следовательно, $p=42$ $q=1849-43=1806$ Проверка:

\frac1{42}-\frac1{1806}=\frac{43-1}{1806}=\frac1{43}.

Искомая сумма $p+q=42+1806=1848$

Ответ

$p+q=1848$ единственная пара — $p=42$ $q=1806$

Главная идея

После телескопического сокращения условие на длинную сумму может превратиться в короткое условие делимости.

Как заметить эту идею в другой задаче

У знаменателя вид произведения соседних чисел. Попробуйте разложить дробь в разность соседних обратных величин, а оставшееся уравнение свести к делимости.

Возможная ошибка

Потерять последний индекс $q-1$ и получить в конце $\frac1{q+1}$ либо найти одну пару $(p,q)$ без доказательства её единственности.

Источник и примечания

Официальный источник

PDF организатора · страницы 1 · задача 10 ↗

Объединённая межвузовская математическая олимпиада · 2025/26 · математика · 10–11 классы · заключительный этап · вариант 1.

Официальное решение · страницы 6 ↗

Авторский разбор Popov Academy.

Можете объяснить решение своими словами?

Тема, знания и приёмы

Последовательности и суммы · Нужна школьная база

Операции с дробями
Разложение на множители
Делители простого числа и его квадрата

Приёмы решения: Телескопическое сокращение · Разложение на множители

Задать вопрос по задаче →