ОММО 2025/26 · Математика · 10–11 кл., №3 — решение · финал

Условие

Владимир и Пётр бегут по одной круговой дорожке. Скорость каждого постоянна. При беге навстречу друг другу промежуток между последовательными встречами равен $3$ минутам, а при беге в одном направлении — $6$ минутам. За какое время Владимир делает один полный круг? Найдите все возможности.

О задаче · 10–11 классы · баллы не подтверждены

Олимпиада: Объединённая межвузовская математическая олимпиада
Предмет / класс: Математика · 10–11 классы
Сезон / этап: 2025/26 · Заключительный этап
Комплект: Вариант 1 · задача 3

Официальные баллыНе подтверждены

Сложность Popov Academy—/5 · предварительно

Для подготовки: 10–11 классы.

Исследуй задачу

Модель с пояснениями к решениюОткрыть модель

Есть пояснения и построения из решения. Открой, когда захочешь воспользоваться этой помощью.

Когда бегуны встретятся снова?

Переключайте направление, выбирайте, кто быстрее, и следите за обоими бегунами по одним часам. Начало отсчёта выбрано в момент встречи: начальные положения в условии не заданы.

■ Владимир● Пётр

Владимир: круг за 4 минуты. Пётр: круг за 12 минут.После начала отсчёта встреч ещё не было.

Длина дорожки принята за один круг. Скорости: $\frac14$ и $\frac1{12}$ круга в минуту. В режиме навстречу относительная скорость равна $\frac13$ , в одном направлении — $\frac16$ круга в минуту.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

Измеряйте скорости не в метрах, а в кругах за минуту. За время между встречами относительное перемещение равно одному кругу.

Подсказка 2

Из условия известны сумма скоростей и модуль их разности, но неизвестно, кто быстрее.

Разобрать решение по шагам

Записываем относительные скорости

Пусть быстрый бегун проходит $u$ кругов в минуту, медленный — $v$ где $u>v>0$ При встречном движении скорости складываются, поэтому $u+v=\frac13$ При движении в одну сторону быстрый за $6$ минут выигрывает один круг: $u-v=\frac16$

Находим времена круга

Сложив равенства, получаем

2u=\frac13+\frac16=\frac12\quad\Longrightarrow\quad u=\frac14.

Тогда

v=\frac13-\frac14=\frac1{12}.

Следовательно, быстрый бегун делает круг за $4$ минуты, медленный — за $12$ минут.

Открыть модель к этому разбору ↑

Возвращаемся к имени бегуна

В условии не сказано, кто из двух быстрее. Владимир может быть и быстрым, и медленным. Оба ответа подходят:

\frac14+\frac1{12}=\frac13,\qquad\frac14-\frac1{12}=\frac16,

как и требуется.

Ответ

$4$ минуты или $12$ минут.

Главная идея

Если условие задаёт только относительные скорости, сохраняйте симметрию между участниками до конца решения.

Как заметить эту идею в другой задаче

Встречи на круге задают скорость сближения в кругах за единицу времени. Встречный бег даёт сумму скоростей, одно направление — модуль разности, но не имя быстрого бегуна.

Возможная ошибка

Записать разность скоростей без модуля, молча назначить Владимира быстрым и потерять второй ответ.

Источник и примечания

Официальный источник

PDF организатора · страницы 1 · задача 3 ↗

Объединённая межвузовская математическая олимпиада · 2025/26 · математика · 10–11 классы · заключительный этап · вариант 1.

Официальное решение · страницы 1 ↗

Авторский разбор Popov Academy.

Можете объяснить решение своими словами?

Тема, знания и приёмы

Задачи на движение · Нужна школьная база

Путь как произведение скорости на время
перевод единиц времени

Приёмы решения: Относительное движение · Разбор случаев

Задать вопрос по задаче →