ОММО 2025/26 · Математика · 10–11 кл., №1 — решение · финал

Условие

Определите, рационально или иррационально число

\sqrt[3]{2+\sqrt5}-\sqrt[3]{\sqrt5-2}.

Все корни понимаются как действительные.

О задаче · 10–11 классы · баллы не подтверждены

Олимпиада: Объединённая межвузовская математическая олимпиада
Предмет / класс: Математика · 10–11 классы
Сезон / этап: 2025/26 · Заключительный этап
Комплект: Вариант 1 · задача 1

Официальные баллыНе подтверждены

Сложность Popov Academy—/5 · предварительно

Для подготовки: 10–11 классы.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

Назовите два кубических корня $a$ и $b$ Их произведение оказывается гораздо проще каждого из них.

Подсказка 2

Для $t=a-b$ используйте равенство $(a-b)^3=a^3-b^3-3ab(a-b)$

Разобрать решение по шагам

Вычисляем два простых выражения

Положим $a=\sqrt[3]{2+\sqrt5}$ $b=\sqrt[3]{\sqrt5-2}$ Тогда $a^3-b^3=4$ Произведение подкоренных выражений равно

(\sqrt5+2)(\sqrt5-2)=5-4=1,

поэтому $ab=1$

Получаем уравнение для разности

Обозначим искомое число через $t=a-b$ По формуле куба разности

t^3=a^3-b^3-3ab(a-b)=4-3t.

Следовательно, $t^3+3t-4=0$ Видно, что $t=1$ является корнем. Чтобы не ограничиться угадыванием, разложим многочлен:

t^3+3t-4=(t-1)(t^2+t+4).

Доказываем единственность

Второй множитель всегда положителен:

t^2+t+4=\left(t+\frac12\right)^2+\frac{15}{4}>0.

Поэтому единственный действительный корень уравнения — $t=1$ Искомое число равно $1$ и является рациональным.

Ответ

Число рационально; его значение равно $1$

Главная идея

Сложное выражение с корнями может удовлетворять простому алгебраическому уравнению. После нахождения кандидата докажите его единственность.

Как заметить эту идею в другой задаче

Разность кубических корней выглядит сложной, но произведение корней и разность их кубов просты. Введите искомую разность как новую переменную и воспользуйтесь формулой куба.

Возможная ошибка

Считать разность иррациональной только потому, что в записи есть корни, либо принимать приближённое значение $1$ за точное доказательство.

Источник и примечания

Официальный источник

PDF организатора · страницы 1 · задача 1 ↗

Объединённая межвузовская математическая олимпиада · 2025/26 · математика · 10–11 классы · заключительный этап · вариант 1.

Официальное решение · страницы 1 ↗

Авторский разбор Popov Academy.

Можете объяснить решение своими словами?

Тема, знания и приёмы

Преобразования выражений · Нужна школьная база

Формулы сокращённого умножения
действия с дробями

Приёмы решения: Удачная подстановка или замена

Задать вопрос по задаче →