Бельчонок 2024/25 · Математика · 6 кл., №8

Условие

Бельчата Альф, Бет и Гамм кидали друг в друга шишками. Первую шишку кинул Альф. Потом если в Альфа попадали шишкой, он кидал в ответ 4 шишки, если попадали в Бета, он кидал 5 шишек, а если попадали в Гамма, он кидал 6 шишек. Всего было 13 промахов. Сколько шишек попало в Бета?

О задаче · 6 класс · баллы не подтверждены

Олимпиада: Бельчонок
Предмет / класс: Математика · 6 класс
Сезон / этап: 2024/25 · Отборочный этап
Комплект: задача 8
Сложность Popov Academy: 4/5 · предварительно

Официальные баллыНе подтверждены

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

Представь, что каждое попадание рождает новые броски. На сколько увеличивается число шишек в игре после попадания в каждого бельчонка?

Подсказка 2

После первого броска каждая попавшая шишка заменяется четырьмя, пятью или шестью ответными. Это добавляет 3, 4 или 5 будущих промахов.

Разобрать решение по шагам

Считаем, что добавляет одно попадание

Начался один бросок. Если он промахнулся, игра закончилась бы одним промахом. Если шишка попала в Альфа, вместо неё появятся четыре ответных броска: возможных конечных промахов станет на $4-1=3$ больше. Для Бета прибавка $5-1=4$ для Гамма — $6-1=5$ Так можно проследить все броски до окончания игры.

Составляем 12 из прибавок 3, 4 и 5

Из начального одного промаха получилось $13$ значит, попадания добавили $13-1=12$ Переберём число пятёрок: их не больше двух. При двух остаётся $2$ что нельзя составить из $3$ и $4$ При одной остаётся $7=3+4$ Без пятёрок число $12$ получается либо как $3+3+3+3$ либо как $4+4+4$

Попаданий в Альфа	В Бета	В Гамма
4	0	0
0	3	0
1	1	1

Проверяем, могла ли так начаться игра

Первый вариант невозможен: первый бросок сделал Альф, а в себя он не бросал. Если никто другой не получил попадания, никто другой не начал бы отвечать. Второй вариант тоже невозможен: первый бросок мог попасть в Бета, но после этого бросал бы только Бет. Он не мог попасть сам в себя ещё два раза. Остаётся по одному попаданию в каждого.

Показываем возможную игру

Альф попадает в Бета. Из пяти бросков Бета один попадает в Гамма, четыре проходят мимо. Из шести бросков Гамма один попадает в Альфа, пять проходят мимо. Все четыре ответных броска Альфа — промахи. Всего $4+5+4=13$ промахов, а в Бета попали один раз.

Бросающий	Попадание	Промахи
Альф в начале	В Бета	0
Бет	В Гамма	4
Гамм	В Альфа	5
Альф в ответ	Нет	4

Ответ

$1$ шишка.

Главная идея

Считай, насколько каждое попадание увеличивает число последующих бросков, а численные варианты проверяй по ходу игры.

Как заметить эту идею в другой задаче

Возможная ошибка

Принять любое решение численного подсчёта: оно ещё должно соответствовать возможной последовательности бросков.

Источник и примечания

Официальный источник

PDF организатора · страницы 13 · задача 8 ↗

Бельчонок · 2024/25 · математика · 6 класс · отборочный этап.

Авторское объяснение. Математическая проверка и сверка с ответом организатора учитываются отдельно от редакторской приёмки.

Можете объяснить решение своими словами?

Задать вопрос по задаче →