Бельчонок 2024/25 · Математика · 6 кл., №10

Условие

Прямой прут длиной 280 см разрезали на 11 палочек так, что из этих палочек можно сложить пятиугольник с одинаковыми сторонами, и можно сложить семиугольник с одинаковыми сторонами. Каждый раз используются все 11 палочек. Палочки нельзя разрезать или ломать. Какова наименьшая длина палочки?

О задаче · 6 класс · баллы не подтверждены

Олимпиада: Бельчонок
Предмет / класс: Математика · 6 класс
Сезон / этап: 2024/25 · Отборочный этап
Комплект: задача 10
Сложность Popov Academy: 5/5 · предварительно

Официальные баллыНе подтверждены

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

Сторона пятиугольника равна $280:5=56$ см, семиугольника — $280:7=40$ см. Каждая палочка участвует в одной стороне каждого из двух многоугольников.

Подсказка 2

Нарисуй 5 коробок для сторон по 56 см и 7 коробок для сторон по 40 см. Каждая из 11 палочек связывает одну коробку первого вида с одной второго.

Разобрать решение по шагам

Находим длины сторон

Стороны пятиугольника равны $280:5=56$ см, а семиугольника — $280:7=40$ см. Значит, ни одна палочка не длиннее $40$ см. Удобно смотреть на два способа разложить одни и те же палочки по коробкам: $5$ коробок с суммой $56$ и $7$ коробок с суммой $40$

Почему все коробки связаны

Для каждой палочки проведём связь между двумя коробками, которым она соответствует в разных раскладках. Если несколько коробок образовали бы отдельную группу, сумма длин в её коробках первого и второго вида совпала бы. Кратные $56$ до $280$ $56,112,168,224,280$ Кратные $40$ $40,80,120,160,200,240,280$ . Первое совпадение — только $280$ Значит, отдельной меньшей группы нет: связаны все $12$ коробок.

Пример двух раскладок из последнего шага. Каждая связь — одна и та же палочка в двух коробках. Схема показывает смысл связей; доказательство относится к любой раскладке.

Почему длины палочек кратны 8

Чтобы связать $12$ коробок, нужно хотя бы $11$ связей: первая коробка уже есть, а каждая новая связь присоединяет не больше одной новой коробки. У нас ровно $11$ связей. Поэтому замкнутого обхода нет: он расходовал бы связь, не присоединяя новой коробки. В такой схеме есть крайняя коробка с одной связью — её можно найти, двигаясь по связям без возврата, пока продолжать станет некуда. Единственная палочка в ней имеет длину, указанную на коробке: вначале это $40$ или $56$ оба числа кратны $8$ В примере верхняя правая коробка содержит одну палочку $40$ Убираем её: в верхней левой остаётся $56-40=16$ После удаления палочки $16$ в следующей правой коробке останется $40-16=24$ Так виден сам приём. В любой схеме поступаем так же: убираем крайнюю палочку и коробку, а из второй коробки вычитаем её длину. Остаток опять кратен $8$ Повторяем с очередной крайней коробкой. Так определятся все палочки, и каждая длина будет кратна $8$

Доказываем, что палочка 8 см необходима

Если бы все палочки были длиннее $8$ их длины могли бы быть только $16,24,32,40$ Сторону $40$ тогда можно собрать лишь из одной палочки $40$ или пары $16+24$ Семь сторон из одиннадцати палочек требуют четырёх пар и трёх одиночных палочек: $4·2+3=11$ Значит, палочек $16$ ровно четыре. Но каждая из пяти сторон $56$ обязана содержать палочку $16$ из одних $24$ и $40$ сумму $56$ не собрать. Потребовалось бы хотя бы пять палочек $16$ — противоречие.

Проверяем, что такой набор существует

На отрезке $280$ отметим границы через $40$ см и через $56$ см. Совпадут только концы. Получатся $11$ палочек длиной $40,16,24,32,8,40,8,32,24,16,40$ см. Первые отметки собирают семь сторон по $40$ вторые — пять по $56$ Наименьшая длина — $8$ см.

Группировка	Суммы палочек по сторонам
5 сторон по 56	40+16; 24+32; 8+40+8; 32+24; 16+40
7 сторон по 40	40; 16+24; 32+8; 40; 8+32; 24+16; 40

Ответ

$8$ см.

Главная идея

Два разбиения одного набора удобно сопоставить через общие палочки; крайняя группа позволяет последовательно восстановить длины.

Как заметить эту идею в другой задаче

Возможная ошибка

Показать только один набор: это доказывает возможность, но не необходимость наименьшей длины.

Источник и примечания

Официальный источник

PDF организатора · страницы 13 · задача 10 ↗

Бельчонок · 2024/25 · математика · 6 класс · отборочный этап.

Авторское объяснение. Математическая проверка и сверка с ответом организатора учитываются отдельно от редакторской приёмки.

Можете объяснить решение своими словами?

Задать вопрос по задаче →