Бельчонок 2024/25 · Математика · 6 кл., №5

Условие

Некоторые гномы всегда лгут, другие всегда говорят правду. Белоснежка встретила $20$ гномов и стала задавать каждому отдельно вопрос: «Если не считать тебя, то кого среди вас больше, лжецов или честных?» Когда она задала вопрос $11$ гномам, все ответили, что больше лжецов, и она перестала спрашивать. Сколько среди $20$ гномов лжецов?

О задаче · 6 класс · баллы не подтверждены

Олимпиада: Бельчонок
Предмет / класс: Математика · 6 класс
Сезон / этап: 2024/25 · Отборочный этап
Комплект: задача 5
Сложность Popov Academy: 4/5 · предварительно

Официальные баллыНе подтверждены

Исследуй задачу

Модель с пояснениями к решениюОткрыть модель

Есть пояснения и построения из решения. Открой, когда захочешь воспользоваться этой помощью.

Кто может так ответить?

Состав общества можно менять. Каждый гном считает остальных, себя он не видит.

Л — лжец; Ч — честный. Выбери гнома, чтобы узнать его ответ.

При девяти лжецах честный видит 9 лжецов и 10 честных; лжец — 8 лжецов и 11 честных.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

Представь сначала ровно $9$ лжецов и $11$ честных. Что увидит честный, если не считать себя?

Подсказка 2

Сравни три случая: $9$ $10$ и $11$ лжецов. Для каждого отдельно проверь ответ честного и лжеца.

Разобрать решение по шагам

Пробуем 9 лжецов

Тогда честных $11$ Честный видит $9$ лжецов и $10$ честных, поэтому не скажет «лжецов больше». Лжец видит $8$ лжецов и $11$ честных; он солжёт и может так сказать. Но лжецов всего $9$ а Белоснежка услышала этот ответ от $11$ человек. Значит, $9$ лжецов быть не может.

Открыть модель к этому разбору ↑

Пробуем 10 лжецов

Честных тоже $10$ Честный видит $10$ лжецов и $9$ честных — он правдиво скажет «лжецов больше». Лжец видит $9$ лжецов и $10$ честных — его слова «лжецов больше» будут ложью. Так ответить могут все $20$ гномов, в том числе любые $11$ опрошенных.

Пробуем 11 лжецов

Теперь честных $9$ Честный видит $11$ лжецов и $8$ честных и может дать услышанный ответ. Лжец видит $10$ лжецов и $9$ честных: ответ «лжецов больше» был бы правдой, поэтому он его не даст. Подходящих отвечающих всего $9$ меньше нужных $11$

Почему других количеств тоже нет

Если лжецов меньше $9$ услышанную фразу могут сказать только лжецы — их ещё меньше $9$ Если лжецов больше $11$ её могут сказать только честные — их ещё меньше $9$ Итак, единственный возможный состав — по $10$ лжецов и честных.

Ответ

$10$ лжецов.

Главная идея

Проверяем, что видит каждый тип гнома после исключения себя, сначала на трёх соседних конкретных составах.

Как заметить эту идею в другой задаче

В задачах о правде и лжи отдельно спроси: что видит честный и что видит лжец?

Возможная ошибка

Считать, что честный и лжец видят одинаковые $19$ гномов: каждый не считает именно себя.

Источник и примечания

Официальный источник

PDF организатора · страницы 13 · задача 5 ↗

Бельчонок · 2024/25 · математика · 6 класс · отборочный этап.

Собственное решение: отдельная AI-проверка тем же исполнителем и сверка с официальным ответом организатора. Официального подробного решения нет; независимая экспертная и человеческая приёмка не проводились.

Можете объяснить решение своими словами?

Задать вопрос по задаче →