Шаг в будущее 2025/26 · Физика · 9 кл., №8 — решение · отбор

Условие

Лодочник переправляется через реку шириной $300\,\text{м}$ за кратчайшее время. Достигнув противоположного берега, гребец, практически без остановки начинает двигаться вдоль него. Затем он снова осуществляет переправу в кратчайшее время. Полная траектория лодки изображена на рисунке. Определить среднепутевую скорость лодки. Ответ выразить в $\text{м/с}$ и округлить до сотых. Скорость течения $2\,\text{м/с}$

Собственная схема маршрута с углом шестьдесят градусов и шириной реки. Геометрия траектории сохранена; дополнительные скорости решения не нанесены.

О задаче · 9 класс · 15 баллов

Олимпиада: Шаг в будущее
Предмет / класс: Физика · 9 класс
Сезон / этап: 2025/26 · Отборочный этап
Комплект: Вариант 1 · задача 8

Официальные баллы15 балловСумма максимумов по критериям: 100.

Сложность Popov Academy4/5 · предварительно

Для подготовки: 9 класс.

Исследуй задачу

Модель с пояснениями к решениюОткрыть модель

Есть пояснения и построения из решения. Открой, когда захочешь воспользоваться этой помощью.

Можно ли сократить время всего маршрута?

В условии каждая переправа выполняется за кратчайшее время: лодка направлена перпендикулярно берегу. Это курс $0^\circ$ ниже. Для отдельного исследования можно отклонить курс против течения: каждая переправа станет дольше, зато снос и обратный путь вдоль берега уменьшатся. Это уже другой маршрут, а не решение исходной задачи.

Сохраняем ширину $300\,\text{м}$ течение $2\,\text{м/с}$ и найденную скорость относительно воды $2\sqrt3\,\text{м/с}$ В обе стороны выбираем одинаковое отклонение от перпендикуляра. Между переправами движемся против течения ровно настолько, чтобы вернуться в $A$

Отклонение против течения: 0°

Выбран исходный маршрут: обе переправы за кратчайшее время.

Время, с: 0

Статичный режим

Обзор всей схемы; точные значения приведены ниже. Для подробных подписей откройте увеличение.

Пройдено, м	0
Скорость относительно берега, м/с	4

Величина	Условие: курс 0°	Выбрано: 0°
Одна переправа, с	86,603	86,603
Вдоль берега, с	236,603	236,603
Весь маршрут, с	409,808	409,808
Весь путь, м	1 039,23	1 039,23
Средняя скорость, м/с	2,536	2,536

Поменяйте курс и сравните времена. Повороты показаны мгновенными; время показа ускорено.

Почему маршрут меняется именно так

Если отклонение равно $\theta$ поперечная скорость — $u\cos\theta$ а снос вдоль берега — $w-u\sin\theta$ Одна переправа длится $t_\perp=\frac{300}{u\cos\theta}$ . Снос за неё равен $b=(w-u\sin\theta)t_\perp$ Обратный участок имеет длину $2b$ и скорость $u-w$ Ограничиваем курс значениями от нуля до $\arcsin(w/u)$ на правой границе снос исчезает и $B=C$

Сравнение касается только этой семьи маршрутов. Оно не доказывает оптимальность среди всех возможных движений.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

Для кратчайшей переправы лодочник направляет скорость относительно воды поперёк реки. Течение даёт продольную составляющую скорости относительно берега.

Подсказка 2

Угол траектории позволяет найти собственную скорость лодки. Затем найдите время двух переправ и время движения вдоль берега против течения.

Разобрать решение по шагам

Найдём собственную скорость лодки

На рисунке маршрут идёт из $A$ в $B$ затем в $C$ против течения и возвращается в $A$ Обозначим скорость относительно воды через $u$ Для кратчайшей переправы она перпендикулярна берегу, а скорость течения $w=2\,\text{м/с}$ параллельна ему. Угол результирующей скорости с берегом равен $60^\circ$ поэтому

\tan60^\circ=\frac{u}{w},\qquad u=2\sqrt3\,\text{м/с}.

Скорость относительно берега на переправах

v_{\text{пер}}=\sqrt{u^2+w^2}=4\,\text{м/с}.

Определим длины трёх участков

Обозначим ширину реки через $d=300\,\text{м}$ Каждая переправа длится $d/u$ и за это время течение сносит лодку на $wd/u=d/\sqrt3$ Обе переправы дают снос в одну сторону; чтобы вернуться к исходной точке, вдоль берега нужно пройти

BC=\frac{2d}{\sqrt3}.

Длина каждой переправы равна

AB=CA=\frac{d}{\sin60^\circ}=\frac{2d}{\sqrt3}.

Все три участка имеют одинаковую длину $\ell=200\sqrt3\,\text{м}$

Сложим времена, учитывая движение против течения

Вдоль берега лодка движется против течения со скоростью

v_{BC}=u-w=2\sqrt3-2\,\text{м/с}.

Значит,

t_{\text{весь}}=\frac{\ell}{4}+\frac{\ell}{2\sqrt3-2}+\frac{\ell}{4}.

Полный путь равен $3\ell$ поэтому

v_{\text{ср}}=\frac{3}{\frac12+\frac1{2\sqrt3-2}}\,\text{м/с}.

Упростим результат

Рационализуем дробь: $\frac1{2\sqrt3-2}=\frac{\sqrt3+1}{4}$ . Тогда

v_{\text{ср}}=\frac{12}{3+\sqrt3}\,\text{м/с}=(6-2\sqrt3)\,\text{м/с}\approx2{,}54\,\text{м/с}.

Средняя скорость меньше скорости переправы, потому что долгое движение против течения замедляет весь маршрут.

Открыть модель к этому разбору ↑

Ответ

$2{,}54\,\text{м/с}$

Главная идея

Складываем скорости лодки и течения для каждого участка, а среднюю путевую скорость находим через полный путь и полное время.

Как заметить эту идею в другой задаче

Переправа за кратчайшее время означает максимальную поперечную составляющую собственной скорости; это не означает отсутствия сноса течением.

Возможная ошибка

Средняя скорость перемещения замкнутого маршрута равна нулю, но здесь нужна средняя путевая скорость, для которой складываются все длины участков.

Источник и примечания

Официальный источник

PDF организатора · страницы 10 · задача 8 ↗

Шаг в будущее · 2025/26 · физика · 9 класс · отборочный этап · вариант 1.

Авторский разбор Popov Academy.

Можете объяснить решение своими словами?

Следующий учебный шаг

Попробуй похожую задачу

Наименьшая скорость при встрече с падающим болтиком →

Шаг в будущее · № 4

Сложность 3/5 · предварительная оценка

Продолжить тему: Кинематика →

Тема, знания и приёмы

Кинематика · Нужна школьная база

Связь пути и времени
графики
проекции скорости

Приёмы решения: Относительное движение · Среднее и взвешенное среднее

Задать вопрос по задаче →