Шаг в будущее 2025/26 · Физика · 9 кл., №4 — решение · финал

Условие

На соревнованиях по стрельбе из рогатки спортсмен навесом стрелял снарядами по мишени. В момент выстрела на расстоянии $b$ от него и с такой же высоты относительно рогатки, начинает падать плохо закрепленный небольшой болтик. При какой начальной скорости $V_0$ снаряд столкнется с болтиком имея в этот момент наименьшую скорость? Сопротивлением воздуха пренебречь. Ускорение свободного падения $g$

Исходная геометрия выстрела: два расстояния b и ускорение вниз

О задаче · 9 класс · 20 баллов

Олимпиада: Шаг в будущее
Предмет / класс: Физика · 9 класс
Сезон / этап: 2025/26 · Заключительный этап
Комплект: Вариант 1 · задача 4

Официальные баллы20 балловСумма максимумов по критериям: 100.

Сложность Popov Academy3/5 · предварительно

Для подготовки: 9 класс.

Исследуй задачу

Модель с пояснениями к решениюОткрыть модель

Есть пояснения и построения из решения. Открой, когда захочешь воспользоваться этой помощью.

Два тела — одна шкала времени

$b$ — исходное расстояние по горизонтали от рогатки до болтика; его начальная высота над рогаткой тоже равна $b$ Начало координат — у рогатки. Координаты показаны в единицах $b$ $\dfrac{x}{b}=0{,}5$ означает $x=\dfrac b2$

Параметр

\lambda=\dfrac{V_0}{\sqrt{gb}}

— начальная скорость в единицах

\sqrt{gb}

Ползунок меняет

V_0

и обе начальные компоненты поровну, поэтому угол остаётся

45^\circ

Масштабы

b

g

остаются прежними; меняются траектория, время, высота и скорость встречи.

Начальная скорость

\lambda

: Время от пуска до встречи

Показан диапазон $1\le\lambda\le2{,}2$ встреча не ниже рогатки. Для минимума $\lambda=\sqrt[4]{2}$ Вертикальные скорости направлены вверх при положительном знаке, вниз — при отрицательном.

Статичный режим

Вертикальная ось:

\dfrac yb

Горизонтальная ось:

\dfrac xb

● Снаряд · ■ Болтик · ◌ Будущая точка встречи. Стрелки показывают скорости.

Сейчас: положение и скорость тел

$t=$ 0 $\sqrt{\dfrac{b}{g}}$

Тело	$\dfrac{x}{b}$	$\dfrac{y}{b}$	$\dfrac{v_x}{\sqrt{gb}}$	$\dfrac{v_y}{\sqrt{gb}}$
Снаряд	0	0	0,841	0,841
Болтик	1	1	0	0

При встрече: результат для выбранной начальной скорости

Кольцо на графике отмечает точку встречи. Эти значения зависят от начальной скорости; ползунок времени их не меняет.

Время встречи: $\sqrt{\dfrac{b}{g}}$
Высота над рогаткой: $\dfrac{y_{\text{встр}}}{b}=$
Скорость снаряда при встрече: $\dfrac{v_{\text{с, встр}}}{\sqrt{gb}}=$
Её квадрат — величина для минимизации: $\dfrac{v_{\text{с, встр}}^2}{gb}=$

Здесь скорость снаряда относительно неподвижной рогатки, не скорость болтика и не относительная скорость двух тел. Числа нормированы: секунды и метры можно получить, только задав численные $b$ и $g$ .

Три статичных состояния

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

Сначала найдите направление выстрела, при котором встреча вообще возможна: ускорения снаряда и болтика одинаковы.

Подсказка 2

Время встречи зависит от $V_0$ Выразите квадрат скорости при столкновении через $V_0$ и выделите в нём полный квадрат.

Разобрать решение по шагам

Запишем условие встречи

Начало координат — у рогатки, ось $x$ направлена горизонтально к болтику, ось $y$ — вверх. На исходном рисунке болтик находится на $b$ правее и на $b$ выше: его начальная точка $(b,b)$ Обозначим начальные компоненты скорости снаряда через $u_x,u_y$ Оба тела имеют одно и то же вертикальное ускорение $-g$

\begin{aligned}x_{\text{с}}&=u_xt,&y_{\text{с}}&=u_yt-\frac{gt^2}{2},\\[0.45em]x_{\text{б}}&=b,&y_{\text{б}}&=b-\frac{gt^2}{2}.\end{aligned}

Скорости в тот же момент:

\begin{aligned}v_{x,\text{с}}&=u_x,&v_{y,\text{с}}&=u_y-gt,\\[0.45em]v_{x,\text{б}}&=0,&v_{y,\text{б}}&=-gt.\end{aligned}

Для встречи нужны оба равенства координат. В вертикальном равенстве одинаковые члены $-gt^2/2$ сокращаются:

u_xt=b,\qquad u_yt=b.

Так как $t>0$ получаем $u_x=u_y$ Поэтому подходящий угол выстрела — $45^\circ$ Это следствие одинакового ускорения, а не предположение о встрече в вершине параболы.

Выразим скорость столкновения через начальную

После первого шага известно, что угол выстрела равен $45^\circ$ Поэтому горизонтальная составляющая скорости равна $V_0/\sqrt2$ а время встречи

t=\frac{b\sqrt2}{V_0}.

Вертикальная составляющая в этот момент равна $V_0/\sqrt2-gt$ Далее $v$ — модуль скорости снаряда относительно неподвижной рогатки, не скорость болтика и не относительная скорость тел. Следовательно, квадрат скорости снаряда при встрече

v^2=\frac{V_0^2}{2}+\left(\frac{V_0}{\sqrt2}-\frac{gb\sqrt2}{V_0}\right)^2.

Раскрывая квадрат, получаем

v^2=V_0^2-2gb+\frac{2g^2b^2}{V_0^2}.

Найдём минимум без производной

Член $-2gb$ постоянен. В двух остальных слагаемых одна величина растёт с $V_0$ другая убывает, поэтому полезно выделить полный квадрат:

v^2=\left(V_0-\frac{\sqrt2\,gb}{V_0}\right)^2+2gb(\sqrt2-1).

Последнее слагаемое не зависит от начальной скорости, а квадрат неотрицателен. Минимум достигается, когда квадрат равен нулю:

V_0-\frac{\sqrt2\,gb}{V_0}=0.

Так как $V_0>0$ отсюда

V_0^2=\sqrt2\,gb,\qquad V_0=\sqrt{\sqrt2\,gb}.

Проверим физическую допустимость

При найденной начальной скорости высота встречи над рогаткой равна

y=b-\frac{gt^2}{2}=b-\frac{gb^2}{V_0^2}=b\left(1-\frac1{\sqrt2}\right)>0.

Столкновение происходит до падения болтика ниже уровня рогатки. Вертикальная скорость снаряда к этому моменту уже направлена вниз; это допустимо и показывает, почему условие встречи в верхней точке дало бы другой результат. Минимальный квадрат скорости равен $2gb(\sqrt2-1)>0$

Открыть модель к этому разбору ↑

Ответ

$V_0=\sqrt{\sqrt2\,gb}$ угол выстрела $45^\circ$

Главная идея

Одинаковое ускорение задаёт направление выстрела, затем минимизируем именно скорость в момент встречи по всем допустимым начальным скоростям.

Как заметить эту идею в другой задаче

Когда подбирается начальная скорость ради наименьшей скорости при событии, выразите скорость события через исходный параметр; минимум вдоль одной траектории может отвечать другой задаче.

Возможная ошибка

Поместить встречу в вершину траектории недостаточно: это даёт минимум скорости только на одной траектории. Требуется сравнить скорости столкновения для разных выстрелов.

Источник и примечания