Корабль собирает межзвёздную пыль

Найдём среднюю плотность на пути

Нормаль к поверхности шара проходит через центр, поэтому путь равен $2R$. Обозначим через $s$ путь от точки входа. Глубина относительно ближайшей поверхности — не одно и то же, что весь пройденный путь:

Так мы понимаем симметричный профиль плотности, зависящий от расстояния до центра: на входе и выходе $\rho_0$, в центре $\rho_0(1+kR)$. Формулировка «расстояние от поверхности до центра» неточна, поэтому смысл $x$ здесь указан явно. На каждой половине пути плотность линейна. Если взять две тонкие полоски на одинаковом расстоянии от середины этой половины, сумма их плотностей постоянна. Поэтому средняя плотность равна полусумме крайних:

Посчитаем массу захваченной пыли

Поскольку радиус облака много больше размеров корабля, считаем область сбора узкой трубкой с постоянным сечением $S$. Её объём $2RS$. Значит, масса пыли

Коэффициент $k$ имеет размерность обратной длины. Для физической допустимости линейного профиля предполагается неотрицательность плотности на всём пути: $1+kR\geq0$ при $\rho_0>0$.

Применим сохранение импульса

Рассмотрим корабль вместе со всей пылью, которую он захватит. До встречи пыль неподвижна, и полный импульс равен $mV_0$. После прохождения облака корабль и прилипшая пыль движутся вместе:

Поэтому

При нулевой плотности получаем $V=V_0$, а при увеличении собираемой массы скорость уменьшается, как и должно быть.