Шарик в горизонтальном конусе: правильная проекция

Восстановим траекторию и начальную высоту

Ось конуса горизонтальна. Нить длины $L$ держит шарик на одинаковом расстоянии от вершины, поэтому при сохранении контакта он движется по окружности в вертикальной плоскости поперёк оси. Радиус окружности

На исходном рисунке шарик начинает сбоку, на высоте оси конуса, а не в верхней точке окружности. До нижнего положения он опускается на $r$. Именно эту трактовку рисунка использует и официальный энергетический расчёт. Если начальная высота другая, результат нужно менять.

Найдём длину по энергии

Шарик отпускают без начальной скорости. Трение отсутствует, нормальная реакция и натяжение перпендикулярны мгновенной скорости и работы не совершают. Поэтому потеря потенциальной энергии равна приобретённой кинетической:

Сокращая $m$ и подставляя $r=L\sin\alpha$, получаем

Предполагается невырожденный конус: $0<\alpha<90^\circ$.

Выберем проекцию, исключающую реакцию

В нижней точке ускорение направлено вертикально вверх к центру окружности. Нить составляет угол $\alpha$ с горизонтальной осью конуса. Поэтому проекция вертикального ускорения на направление нити к вершине равна $a\sin\alpha$, а не $a\cos\alpha$. Реакция поверхности $N$ перпендикулярна образующей и нити; в выбранной проекции она равна нулю. Получаем

Так как $V^2/r=2g$,

Это и есть искомое натяжение для указанного начального положения.

Проверим другой парой проекций

По горизонтали ускорение равно нулю. Натяжение направлено к вершине, нормальная реакция — внутрь конуса:

С найденным $T$ это даёт $N=3mg\cos\alpha>0$: поверхность действительно толкает шарик. Вертикальная сумма сил

Таким образом, обе компоненты второго закона согласованы. Контакт сохраняется и на пути от боковой точки до низа: если $\varphi$ — угол радиуса с вертикалью вниз, то $V^2=2gr\cos\varphi$, $T=3mg\cos\varphi\sin\alpha$ и $N=3mg\cos\varphi\cos\alpha$ неотрицательны при $0\le\varphi\le90^\circ$. В начальной боковой точке обе реакции равны нулю и затем возрастают. Официальное натяжение $mg(2\cos\alpha+\sin\alpha)$ в общем случае не проходит эту проверку; оно случайно совпадает с нашим при $\alpha=45^\circ$.