Шаг в будущее 2025/26 · Физика · 9 кл., №2 — решение · финал

Условие

Во время ремонта на стене закрепили с помощью невесомой веревки массивную катушку с проводом. Оказалось, что если ее повесить на отшлифованную стену — то она проскальзывает, а если на неподготовленную — то остается на месте (см. рисунок). Какой может быть радиус катушки с проводом в таком случае? Длина веревки $L=144\,\text{см}$ коэффициент трения $\mu=2{,}967$

Касательная нить и катушка у стены

О задаче · 9 класс · 10 баллов

Олимпиада: Шаг в будущее
Предмет / класс: Физика · 9 класс
Сезон / этап: 2025/26 · Заключительный этап
Комплект: Вариант 1 · задача 2

Официальные баллы10 баллов

Сложность Popov Academy4/5 · предварительно

Для подготовки: 9 класс.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

Сравните момент натяжения с моментом трения относительно центра.

Подсказка 2

После баланса сил используйте $F\le\mu N$ Равенство описывает лишь границу.

Разобрать решение по шагам

Геометрия натянутой верёвки

Используем показанное в PDF касательное расположение нити: от точки крепления на стене она идёт к верхней правой части катушки. Пусть $\alpha$ — угол нити с вертикальной стеной, $R$ — радиус. Радиус к точке касания перпендикулярен нити. Горизонтальный отступ точки касания от стены равен $R+R\cos\alpha$ но он же равен $L\sin\alpha$ Поэтому

L\sin\alpha=R(1+\cos\alpha),\qquad \frac RL=\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha}=\operatorname{tg}\frac\alpha2.

Для наклонной вверх нити на рисунке $0<\alpha<90^\circ$ то есть $0<R<L$ Горизонтальная нить соответствует предельному случаю $R=L$

Сначала найдём требуемое трение

На катушку действуют тяжесть $mg$ натяжение $T$ нормальная реакция стены $N$ и трение $F$ вверх. Натяжение и трение вращают катушку в противоположные стороны; у обеих сил плечо относительно центра равно $R$ Поэтому

FR=TR,\qquad F=T.

Баланс по горизонтали и вертикали:

N=T\sin\alpha,\qquad F+T\cos\alpha=mg.

Отсюда $T=mg/(1+\cos\alpha)>0$ и $N>0$ Итак, отношение необходимой силы трения к реакции стены равно

\frac FN=\frac1{\sin\alpha}.

На гладкой стене $F=0$ равновесие моментов тогда требовало бы $T=0$ что несовместимо с удержанием веса.

Силы именно на катушке: контакты, центр масс и нить

Покой задаёт неравенство, а не равенство

Статическое трение может принимать любое необходимое значение от нуля до $\mu N$ Значит, катушка удержится, если

F\le\mu N,\qquad \sin\alpha\ge\frac1\mu.

Положим $q=R/L$ Из формулы двойного угла

\sin\alpha=\frac{2q}{1+q^2}.

Все знаменатели положительны, поэтому

\frac{2q}{1+q^2}\ge\frac1\mu\quad\Longleftrightarrow\quad q^2-2\mu q+1\le0.

Квадратный трёхчлен неположителен между корнями:

\mu-\sqrt{\mu^2-1}\le q\le\mu+\sqrt{\mu^2-1}.

Совмещаем с геометрическим ограничением $0<q<1$ Верхний корень больше единицы и в показанную геометрию не попадает.

Диапазон и официальный граничный ответ

Итак, при наклонной нити как на рисунке

L\bigl(\mu-\sqrt{\mu^2-1}\bigr)\le R<L.

Подстановка даёт

R_{\min}=1{,}44\bigl(2{,}967-\sqrt{2{,}967^2-1}\bigr)\approx0{,}2500\,\text{м}.

Следовательно, допустим диапазон примерно $0{,}2500\,\text{м}\le R<1{,}44\,\text{м}$ . Если разрешить предельную горизонтальную нить, правый конец $R=1{,}44\,\text{м}$ тоже допускается. Официальное $0{,}25\,\text{м}$ — нижняя граница, когда $F=\mu N$ Одно лишь слово «остаётся» не требует предельного трения.

Ответ

При наклонной касательной нити как в исходном рисунке: $L(\mu-\sqrt{\mu^2-1})\le R<L$ , то есть примерно $0{,}2500\le R<1{,}44\,\text{м}$ . Официальные $0{,}25\,\text{м}$ — минимальный радиус на границе скольжения.

Главная идея

Равновесие определяет необходимое трение, а его предельное значение выделяет область допустимых размеров.

Как заметить эту идею в другой задаче

Когда тело остаётся в покое у шероховатой опоры, сначала найдите требуемое трение, затем сравните с $\mu N$

Возможная ошибка

Подстановка $F=\mu N$ во всех состояниях покоя теряет целый диапазон решений.

Источник и примечания

Официальный источник

PDF организатора · страницы 2 · задача 2 ↗

Шаг в будущее · 2025/26 · физика · 9 класс · заключительный этап · вариант 1.

Разбор с оговоркой об источнике: условия или официальный ответ требуют уточнения. Ниже явно разделены вывод и допущения.

Примечания к источнику

В официальном разборе на странице 2 без отдельного условия предельного скольжения используется $F=\mu N$ Поэтому число $0{,}25\,\text{м}$ является граничным значением, а не единственным возможным радиусом. Для расположения нити как на рисунке приведён полный диапазон.

Можете объяснить решение своими словами?

Тема, знания и приёмы

Равновесие и моменты · Нужна школьная база

Равновесие сил
плечо и момент
закон Гука при наличии пружины

Приёмы решения: Баланс моментов сил · Оценка и достижимость

Задать вопрос по задаче →