Шаг в будущее 2025/26 · Физика · 9 кл., №6 — решение · финал

Условие

Ветряная мельница является устройством с горизонтальной осью, которое можно запускать без какого-либо дополнительного воздействия, только от дуновения ветра. При этом воздушный поток должен быть направлен вдоль оси вращения мельницы. Интересно, что в установившемся режиме мощность такого устройства не зависит ни от ширины лопастей, ни от их количества (от этих параметров зависит пуск ветряка). Найдите мощность ветряной мельницы в установившемся режиме при скорости ветра $36\,\text{км/ч}$ если её трёхлопастной винт диаметром $25$ метров имеет коэффициент использования энергии ветра $0{,}4$ а плотность воздуха равна $1{,}2\,\text{кг/м}^3$

О задаче · 9 класс · 20 баллов

Олимпиада: Шаг в будущее
Предмет / класс: Физика · 9 класс
Сезон / этап: 2025/26 · Заключительный этап
Комплект: Вариант 1 · задача 6

Официальные баллы20 балловСумма максимумов по критериям: 100.

Сложность Popov Academy3/5 · предварительно

Для подготовки: 9 класс.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

Посчитайте массу воздуха, проходящую за секунду через круг, который описывают концы лопастей.

Подсказка 2

Найдите кинетическую энергию этой массы воздуха и возьмите долю, заданную коэффициентом использования энергии ветра.

Разобрать решение по шагам

Найдём площадь и поток массы

Скорость ветра $v=36/3{,}6=10\,\text{м/с}$ . Радиус винта $r=25/2=12{,}5\,\text{м}$ поэтому площадь ометаемого круга

S=\pi r^2=156{,}25\pi\,\text{м}^2.

За время $\Delta t$ через этот круг проходит цилиндр воздуха длиной $v\Delta t$ объёмом $Sv\Delta t$ и массой

\Delta m=\rho Sv\Delta t.

Переведём поток энергии в мощность

Кинетическая энергия прошедшей массы

\Delta E=\frac{\Delta m\,v^2}{2}=\frac{\rho Sv^3\Delta t}{2}.

Деление на время даёт мощность воздушного потока $\rho Sv^3/2$ Мельница использует долю $\eta=0{,}4$ поэтому

P=\eta\frac{\rho Sv^3}{2}.

Выполним расчёт

Подставим значения в единицах СИ:

P=0{,}4\cdot\frac{1{,}2\cdot156{,}25\pi\cdot10^3}{2}=37500\pi\,\text{Вт}\approx1{,}18\cdot10^5\,\text{Вт}.

Таким образом, мощность примерно $117{,}8\,\text{кВт}$ Число лопастей отдельно не входит в расчёт: используем ометаемую площадь и заданный коэффициент использования энергии.