Шаг в будущее 2025/26 · Физика · 9 кл., №5 — решение · отбор

Условие

Игрушка ванька-встанька (неваляшка) в простейшей модели состоит двух сферических оболочек одинаковой толщины радиусами $r_1=20$ см и $r_2=30$ см. Масса большей сферы $m_1=90$ г. Снизу к ней прикреплен груз массой m = 0,5 кг (рис. 1). С какой наименьшей силой F нужно надавливать на неваляшку, чтобы удерживать ее в горизонтальном положении на гладком столе (рис. 2)? Ответ выразить в ньютонах. Ускорение свободного падения 10 м/с². Площадь сферы пропорциональна квадрату ее радиуса.

Радиусы оболочек изображены в отношении два к трём. Цветом показан прикреплённый груз; искомая сила не нанесена.

О задаче · 9 класс · 11 баллов

Олимпиада: Шаг в будущее
Предмет / класс: Физика · 9 класс
Сезон / этап: 2025/26 · Отборочный этап
Комплект: Вариант 1 · задача 5

Официальные баллы11 баллов

Сложность Popov Academy4/5 · предварительно

Для подготовки: 9 класс.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

Какие силы дают момент относительно точки касания большой сферы со столом?

Подсказка 2

Для минимальной силы важно не только нужное направление момента, но и допустимое плечо.

Разобрать решение по шагам

Массы оболочек и их плечи

Как и в официальном расчёте, примем, что обе оболочки сделаны из одного материала. В условии прямо указана одинаковая толщина, но одинаковая плотность материала отдельно не названа. В этой модели массы пропорциональны площадям поверхностей, то есть квадратам радиусов. Чтобы не перепутать обозначения источника, назовём массу маленькой оболочки $m_{\text{мал}}$ массу большой — $m_{\text{бол}}=0{,}09\,\text{кг}$ . Тогда

m_{\text{мал}}=0{,}09\left(\frac{20}{30}\right)^2=0{,}04\,\text{кг}.

В горизонтальном положении центры оболочек лежат на одной высоте. Возьмём моменты относительно точки $B$ касания большой сферы со столом. Вес большой оболочки и реакция стола проходят через $B$ их моменты нулевые. Груз $m=0{,}5\,\text{кг}$ имеет плечо $r_2=0{,}3\,\text{м}$ вес малой оболочки — плечо $r_1+r_2=0{,}5\,\text{м}$

Модель нормального надавливания

На гладком столе нет горизонтальной реакции. Если прикладывается одна внешняя сила, для равновесия она должна быть вертикальной. Дополнительно примем, как делает официальный разбор, что надавливание на гладкую оболочку направлено по нормали к ней. Тогда подходящая точка — верх малой сферы; линия силы проходит через её центр. Моментный баланс:

(F+m_{\text{мал}}g)(r_1+r_2)=mgr_2.

Отсюда

F=\frac{0{,}5\cdot10\cdot0{,}3}{0{,}5}-0{,}04\cdot10=3-0{,}4=2{,}6\,\text{Н}.

Это официальный ответ при явно принятом ограничении на контакт руки с оболочкой.

Нормальное надавливание сверху и силы на неваляшке

Если разрешена произвольная вертикальная точечная сила

Само слово «надавливать» не задаёт трение/устройство контакта. В более широкой математической модели, где вертикальную внешнюю силу можно передавать в любой точке оболочки, её наибольшее плечо — расстояние до крайней левой точки малой сферы: $r_2+2r_1=0{,}7\,\text{м}$ Нужный добавочный момент равен

mgr_2-m_{\text{мал}}g(r_1+r_2)=1{,}5-0{,}2=1{,}3\,\text{Н}\cdot\text{м}.

Поэтому в этой другой модели

F_{\min}=\frac{1{,}3}{0{,}7}=\frac{13}{7}\,\text{Н}\approx1{,}86\,\text{Н}.

Такая сила в крайней левой точке не является нормальным надавливанием на гладкую сферу. Мы не выдаём её за ту же контактную модель: это показывает, почему ограничение существенно.

Ответ

При одинаковом материале оболочек: $2{,}6\,\text{Н}$ при нормальном надавливании на оболочку, как в официальном разборе. При разрешённой произвольной вертикальной точечной силе другая модель даёт $\frac{13}{7}\,\text{Н}$ без уточнения контакта единственность не следует.

Главная идея

Минимизация силы требует определить, где и в каком направлении эту силу разрешено прикладывать.

Как заметить эту идею в другой задаче

В задачах «наименьшая сила» сначала выясните допустимый контакт, затем максимизируйте плечо при нужном направлении момента.

Возможная ошибка

Незаметно ограничить силу нормалью к поверхности — значит добавить отсутствующую предпосылку.

Источник и примечания

Официальный источник

PDF организатора · страницы 5 · задача 5 ↗

Шаг в будущее · 2025/26 · физика · 9 класс · отборочный этап · вариант 1.

Разбор с оговоркой об источнике: условия или официальный ответ требуют уточнения. Ниже явно разделены вывод и допущения.

Примечания к источнику

Официальный разбор на странице 5 вводит нормальность надавливания к поверхности. В самом условии модель контакта руки не задана. Для этой дополнительной модели получено совпадающее $2{,}6\,\text{Н}$ более общий вариант приведён отдельно, а не вместо официального условия.

Можете объяснить решение своими словами?

Тема, знания и приёмы

Равновесие и моменты · Нужна школьная база

Равновесие сил
плечо и момент
закон Гука при наличии пружины

Приёмы решения: Баланс моментов сил · Оценка и достижимость

Задать вопрос по задаче →