Шаг в будущее 2025/26 · Физика · 9 кл., №4 — решение · отбор

Условие

Фрагмент транспортной развязки (вид сверху) изображен на рисунке. Участок $BCD$ близок к дуге окружности с центром в точке $O$ $ABOD$ можно считать квадратом (хотя в действительности $DA$ расположен над $AB$ ). Участок $AB$ автомобиль проходит со средней скоростью $v_1=110\,\text{км/ч}$ дугу $BCD$ — со скоростью $v_2=90\,\text{км/ч}$ участок $DA$ — со скоростью $v_3=80\,\text{км/ч}$ Определить среднюю скорость $v$ автомобиля на всем пути $ABCDA$ Ответ выразить в $\text{м/с}$ и округлить до десятых. Число $\pi$ принять равным $3{,}14$

Автомобиль проходит A → B → C → D → A по большой дуге через C. В месте A дорога DA проходит над AB. Квадрат ABOD и центр O сохранены по исходному рисунку.

О задаче · 9 класс · 11 баллов

Олимпиада: Шаг в будущее
Предмет / класс: Физика · 9 класс
Сезон / этап: 2025/26 · Отборочный этап
Комплект: Вариант 1 · задача 4

Официальные баллы11 балловСумма максимумов по критериям: 100.

Сложность Popov Academy3/5 · предварительно

Для подготовки: 9 класс.

Исследуй задачу

Модель с пояснениями к решениюОткрыть модель

Есть пояснения и построения из решения. Открой, когда захочешь воспользоваться этой помощью.

Одни часы на всей петле

Для показа выбран радиус $r=1\,\text{км}$ В вычислении длины дуги, как требует условие, используется $\pi=3{,}14$ Размер рисунка можно читать как масштабный пример; средняя скорость от радиуса не зависит.

Общее время, с: 0

Статичный режим

AB: 110 км/ч · BCD: 90 км/ч · DA: 80 км/ч. В графике ниже путь в километрах, время в секундах.

Повороты между участками показаны мгновенными, как в модели решения. Время показа не равно времени движения.

Путь, км	0
Скорость на участке, м/с	30,556
Средняя скорость с начала, м/с	—

Статичные контрольные состояния

Старт A. 0 с; путь 0 км.

У B. 32,727 с; путь 1 км.

У D. 221,127 с; путь 5,71 км.

Финиш A. 266,127 с; путь 6,71 км.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

Сторона квадрата равна радиусу окружности. Какая доля полной окружности пройдена по дуге через точку $C$

Подсказка 2

Обозначьте радиус произвольной буквой и сложите времена трёх частей. Неизвестный размер развязки сократится.

Разобрать решение по шагам

Выразим длины участков через радиус

Пусть радиус равен $r$ Из квадрата $ABOD$ получаем $AB=DA=r$ Угол $BOD$ прямой, но автомобиль едет по большой дуге через $C$ то есть проходит $\frac34$ окружности. Её длина

s_{BCD}=\frac34\cdot2\pi r=\frac{3\pi r}{2}.

Полный путь равен $s=r\left(2+\frac{3\pi}{2}\right)$ .

Сложим времена

Если $r$ выражен в километрах, времена получатся в часах:

t=\frac r{110}+\frac{3\pi r}{2\cdot90}+\frac r{80}.

Поэтому средняя скорость

v=\frac{s}{t}=\frac{2+\frac{3\pi}{2}}{\frac1{110}+\frac{3\pi}{180}+\frac1{80}}\,\text{км/ч}.

Радиус сократился: точный размер петли не нужен.

Подставим число π и переведём единицы

При $\pi=3{,}14$ получаем

v\approx90{,}77\,\text{км/ч}.

Чтобы получить метры в секунду, делим на $3{,}6$

v\approx25{,}2\,\text{м/с}.

Результат лежит между минимальной и максимальной скоростями участков.

Открыть модель к этому разбору ↑

Ответ

$25{,}2\,\text{м/с}$

Главная идея

Среднюю путевую скорость считаем по полной длине и полному времени, выразив все длины через один радиус.

Как заметить эту идею в другой задаче

Если геометрический маршрут задан без абсолютных размеров, ищите отношения длин: общий масштаб часто сокращается в формуле средней скорости.

Возможная ошибка

Дуга через $C$ составляет три четверти окружности, а не четверть. Среднее арифметическое трёх скоростей также не подходит, потому что времена участков различаются.

Источник и примечания