Шаг в будущее 2025/26 · Физика · 8 кл., №9 — решение · отбор

Условие

Спускаясь с горы, велосипедист первую треть пути проехал со скоростью $V_1=20$ км/ч. Половину оставшегося времени движения он поднимался в гору со скоростью $V_2=10$ км/ч. Проколов камеру, остаток пути он прошел пешком со скоростью $V_3=5$ км/ч. Определите среднюю скорость велосипедиста на всем пути. Результат выразите в километрах в час, округлив до десятых долей

Длины участков показаны схематически; первая часть составляет треть пути.

$V_1=20\,\text{км/ч}$ $V_2=10\,\text{км/ч}$ $V_3=5\,\text{км/ч}$ Время подъёма и ходьбы одинаково.

О задаче · 8 класс · 16 баллов

Олимпиада: Шаг в будущее
Предмет / класс: Физика · 8 класс
Сезон / этап: 2025/26 · Отборочный этап
Комплект: Вариант 1 · задача 9

Официальные баллы16 балловСумма максимумов по критериям: 100.

Сложность Popov Academy2/5 · предварительно

Для подготовки: 8 класс.

Исследуй задачу

Модель с пояснениями к решениюОткрыть модель

Есть пояснения и построения из решения. Открой, когда захочешь воспользоваться этой помощью.

Одни часы для трёх участков

Для показа выберем весь маршрут $L=18\,\text{км}$ Тогда участки имеют длины $6$ $8$ и $4\,\text{км}$ а времена — $18$ $48$ и $48\,\text{мин}$ Это демонстрационный масштаб, не новое условие: средняя скорость от $L$ не зависит.

Общее время, мин: 0

Статичный режим

Пройденный путь, км	0
Скорость на участке, км/ч	20
Средняя скорость с начала, км/ч	—

Перемещайте ползунок или запустите показ. Длительность показа не равна физическому времени.

Все контрольные состояния без анимации

0 минут от старта. Пройдено 0 км.

18 минут от старта. Пройдено 6 км.

66 минут от старта. Пройдено 14 км.

114 минут от старта. Пройдено 18 км.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

Не усредняйте три скорости сразу: первая часть задана долей пути, остальные — долями оставшегося времени.

Подсказка 2

Средняя скорость на последних двух третях пути равна $\frac{10+5}{2}=\frac{15}{2}\,\text{км/ч}$ .

Разобрать решение по шагам

Разделим путь и время

Обозначим весь путь через $L$ Первый участок равен $\frac{L}{3}$ а два оставшихся вместе — $\frac{2L}{3}$ Подъём занял половину оставшегося времени; значит, на ходьбу ушла другая половина. Обозначим каждое из этих двух времён через $t$

За равные времена при скоростях $10$ и $5\,\text{км/ч}$ пройдены пути $10t$ и $5t$ Они относятся как $2:1$ а не равны. Делим оставшиеся $\frac{2L}{3}$ в этом отношении: получаем $\frac{4L}{9}$ и $\frac{2L}{9}$ Вместе с первым участком это даёт отношение путей $3:4:2$

Ширина каждого участка соответствует его доле пути.

Пути относятся как $3:4:2$ Спуск — $L/3$ подъём и ходьба вместе — $2L/3$

На равных временах скорости можно усреднить

На двух последних участках средняя скорость равна

v_{23}=\frac{10t+5t}{t+t}=\frac{15}{2}\,\text{км/ч}.

Среднее арифметическое получилось именно благодаря равенству времён. Для всего движения такого равенства нет, поэтому три скорости сразу усреднять нельзя.

Сложим времена всех частей

Если $L$ выражено в километрах, время будет в часах:

t_1=\frac{\frac{L}{3}}{20}=\frac{L}{60},

t_{23}=\frac{\frac{2L}{3}}{\frac{15}{2}}=\frac{2L}{3}\cdot\frac{2}{15}=\frac{4L}{45}.

Каждое из двух одинаковых оставшихся времён равно $\frac{2L}{45}$ После приведения к общему знаменателю времена трёх участков относятся как $3:8:8$ Это другая полоса на схеме: её не следует путать с полосой расстояний.

Это отдельная шкала времени: два последних участка одинаковы.

Времена относятся как $3:8:8$ На последних двух участках время равно $t$ а пройденные пути различаются.

Разделим полный путь на полное время

Сначала найдём знаменатель:

T=\frac{L}{60}+\frac{4L}{45}=\frac{3L+16L}{180}=\frac{19L}{180}.

Теперь можно найти среднюю скорость всего движения:

v_{\text{ср}}=\frac{L}{\frac{19L}{180}}=\frac{180}{19}\,\text{км/ч}\approx9{,}5\,\text{км/ч}.

Длина всего маршрута сократилась, поэтому её не требовалось знать.

Открыть модель к этому разбору ↑

Ответ

$9{,}5\,\text{км/ч}$

Главная идея

На двух последних участках равны времена, поэтому там можно усреднить скорости. Для всего пути нужно снова разделить расстояние на время.

Как заметить эту идею в другой задаче

Если в условии смешаны доли пути и доли времени, сначала разметьте их отдельно; усреднять скорости арифметически можно только на равных временах.

Возможная ошибка

Среднее арифметическое трёх скоростей неверно: времена первого, второго и третьего участков не равны.

Источник и примечания

Официальный источник

PDF организатора · страницы 12 · задача 9 ↗

Шаг в будущее · 2025/26 · физика · 8 класс · отборочный этап · вариант 1.

Авторский разбор Popov Academy.

Можете объяснить решение своими словами?

Продолжить тему: Кинематика →

Тема, знания и приёмы

Кинематика · Нужна школьная база

Путь, скорость, время
Действия с дробями

Приёмы решения: Среднее и взвешенное среднее

Задать вопрос по задаче →