Шаг в будущее 2025/26 · Физика · 8 кл., №2 — решение · отбор

Условие

В кубическом сосуде с ребром $d=50\,\text{см}$ до уровня $h=10\,\text{см}$ налита вода при $t=0\,^\circ\text{C}$ В аквариум положили куб изо льда с ребром $a=20\,\text{см}$ также имеющий температуру $t=0\,^\circ\text{C}$ и начали доливать воду, имеющую температуру $t=0\,^\circ\text{C}$ Какую массу воды нужно добавить, чтобы лед начал всплывать? Аквариум находится в помещении, в котором температура равна $t=0\,^\circ\text{C}$ Эффектом прилипания пренебречь. Плотность воды равна $\rho_{\text{в}}=1000\,\text{кг/м}^3$ , плотность льда равна $\rho_{\text{л}}=900\,\text{кг/м}^3$ . Ответ выразите в килограммах и округлите до десятых долей.

Исходные 10 см — уровень до помещения куба льда. Вертикальный вид сосуда; глубина дна также 50 см.

О задаче · 8 класс · 7 баллов

Олимпиада: Шаг в будущее
Предмет / класс: Физика · 8 класс
Сезон / этап: 2025/26 · Отборочный этап
Комплект: Вариант 1 · задача 2

Официальные баллы7 балловСумма максимумов по критериям: 100.

Сложность Popov Academy3/5 · предварительно

Для подготовки: 8 класс.

Исследуй задачу

Модель с пояснениями к решениюПостроение по шагам

Есть пояснения и построения из решения. Открой, когда захочешь воспользоваться этой помощью.

Три уровня воды

Сравните уровень до льда, после его помещения и на границе всплытия. Температура везде нулевая; таяние не моделируется.

1. До льда

В сосуде $25\,\text{л}$ воды. Дно пока целиком занято водой.

2. После помещения куба

Количество воды ещё то же. Теперь на дне часть площади занимает лёд: $H=\frac{25000}{2500-400}\,\text{см}\approx11{,}9\,\text{см}$ . Куб пока лежит на дне.

3. Граница всплытия

При $H=18\,\text{см}$ сила Архимеда сравнялась с весом. Вода занимает $37{,}8\,\text{л}$ поэтому добавлено $37{,}8-25=12{,}8\,\text{л}$ , то есть $12{,}8\,\text{кг}$

Все состояния доступны без проигрывания. Переключение меняет выделенный этап, а не исходные данные задачи.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

В момент отрыва от дна сила Архимеда уже уравновешивает тяжесть льда. Найдите нужную глубину погружения.

Подсказка 2

До всплытия куб стоит на дне. Под водой часть объёма сосуда занята льдом, поэтому объём воды нельзя считать как площадь всего дна, умноженную на уровень.

Разобрать решение по шагам

Найдём уровень, при котором куб оторвётся от дна

Прилипанием пренебрегают: вода может проникать под нижнюю грань куба и создавать подъёмную силу. Все тела имеют температуру $0\,^\circ\text{C}$ поэтому в принятой модели куб не тает. Пусть в момент начала всплытия вода достигает высоты $H$ от дна. Куб погружён на эту высоту; его погружённый объём равен $a^2H$ На границе всплытия

\rho_{\text{в}}ga^2H=\rho_{\text{л}}ga^3.

Сократив общие множители, получаем

H=\frac{\rho_{\text{л}}}{\rho_{\text{в}}}a=0{,}9\cdot20=18\,\text{см}.

Это меньше ребра куба, как и должно быть для частичного погружения.

В объёме воды вычитается только погружённая часть куба. Площадь свободного сечения — d² − a²; на рисунке показана одна вертикальная плоскость.

Посчитаем конечный и начальный объёмы воды

Пока куб касается дна, вода занимает площадь $d^2-a^2$ на всей высоте $H$ Поэтому

V_{\text{кон}}=(50^2-20^2)\cdot18=37800\,\text{см}^3.

До помещения льда воды было

V_{\text{нач}}=d^2h=50^2\cdot10=25000\,\text{см}^3.

Значит, долить нужно $12800\,\text{см}^3=0{,}0128\,\text{м}^3$ воды.

Переведём объём в массу

Масса долитой воды

m=\rho_{\text{в}}(V_{\text{кон}}-V_{\text{нач}})=1000\cdot0{,}0128=12{,}8\,\text{кг}.

Проверим, что доливание действительно необходимо: сразу после помещения куба уровень равен

H_{\text{после куба}}=\frac{25000}{2500-400}\,\text{см}\approx11{,}9\,\text{см}.

Он меньше уровня всплытия $18\,\text{см}$ Начальные $10\,\text{см}$ были измерены ещё до погружения льда, поэтому напрямую вычитать их из $18\,\text{см}$ было бы неверно.

Промежуточный уровень после помещения льда помогает не перепутать начальные 10 см с уровнем около куба.

Открыть модель к этому разбору ↑

Ответ

$12{,}8\,\text{кг}$

Главная идея

Сначала находим уровень всплытия из равновесия сил, затем вычитаем начальный объём воды из конечного.

Как заметить эту идею в другой задаче

Слова «начал всплывать» указывают на границу: опора перестаёт давить на тело, и сила Архимеда становится равной его весу.

Возможная ошибка

Начальный уровень указан до погружения льда. Нельзя взять разность уровней и умножить её на площадь свободной части дна, не учтя подъём воды после помещения куба.

Источник и примечания