Растяжение ускоряющегося стержня и точка тяги

Укажем дополнительное условие стандартной модели

Рассмотрим сначала продольную тягу за передний конец стержня. После установления общего ускорения $a$ натяжение неодинаково вдоль длины: сечение на расстоянии $x$ от свободного заднего конца должно разгонять массу $\rho Sx$ позади него. Поэтому

Здесь $S$ — площадь поперечного сечения, $\rho$ — плотность. Применяем линейную упругую модель малых деформаций и пренебрегаем переходными упругими колебаниями.

Из локального закона Гука получим полное удлинение

Модуль Юнга связывает напряжение $T/S$ с относительным удлинением малого участка: $\varepsilon(x)=T(x)/(ES)$. Поэтому

Величина линейно растёт от нуля до $\rho aL/E$. Среднее по длине равно половине максимального (площадь под прямой — треугольник):

Именно неодинаковое натяжение даёт множитель $2$; нельзя считать массивный стержень невесомой пружиной с одной одинаковой силой во всех сечениях.

Подставим единицы СИ

По условию $L=0{,}20\,\text{м}$, $\rho=1200\,\text{кг/м}^3$, $E=2{,}4\cdot10^6\,\text{Па}$ и $0{,}01\%=10^{-4}$. Отсюда

Это совпадает с официальным числом для тяги за конец.

Почему место приложения силы существенно

В исходном тексте место приложения силы не названо. В той же одномерной модели пусть одна направленная вправо сила действует в сечении $x=c$, а оба конца свободны. Участок позади $c$ растягивается с $T(x)=\rho Sax$; участок впереди сжимается, и знаковая продольная сила там $T(x)=-\rho Sa(L-x)$. Суммарное удлинение равно разности площадей двух треугольников:

Раскрывая квадраты,

Например, при $c=3L/4$ то же малое положительное удлинение требует $a=4{,}0\,\text{м/с}^2$. Это отдельная модель с сохранением прямолинейности стержня и малых продольных деформаций; она демонстрирует, почему без точки приложения силы универсальное число не получается.