Шаг в будущее 2025/26 · Физика · 10 кл., №1 — решение · отбор

Условие

Между двумя горизонтальными лентами транспортеров зажата заготовка цилиндрической формы радиуса $R=20\,\text{см}$ (см. рисунок). Ленты одновременно запускают, и они движутся в противоположные стороны: верхняя – со скоростью $V_1=2$ м/с, а нижняя – со скоростью $V_2=8$ м/с относительно земли. Чему равна угловая скорость вращения заготовки относительно ее оси? Заготовка не проскальзывает между лентами. Ответ дайте в рад/с, округлив его до целых.

Авторская схема исходного расположения лент: верхняя движется вправо, нижняя — влево.

О задаче · 10 класс · 6 баллов

Олимпиада: Шаг в будущее
Предмет / класс: Физика · 10 класс
Сезон / этап: 2025/26 · Отборочный этап
Комплект: Вариант 1 · задача 1

Официальные баллы6 балловСумма максимумов по критериям: 100.

Сложность Popov Academy3/5 · предварительно

Для подготовки: 10 класс.

Исследуй задачу

Модель с пояснениями к решениюОткрыть модель

Есть пояснения и построения из решения. Открой, когда захочешь воспользоваться этой помощью.

Проверить на модели

Центр движется и цилиндр вращается

Измени скорости лент. Смотри, как одновременно меняются перенос, вращение и мгновенный центр скоростей.

Верхняя лента, м/с2Нижняя лента, м/с-8Время модели, с0

Статичный режим

Начальное состояние. Управление станет доступно после загрузки страницы.

Скорость центра: -3 м/с; угловая скорость: 25 рад/с (по часовой).

Верхний контакт: 2 м/с; нижний: -8 м/с.

I находится на 0,12 м выше C. Расстояния до контактов: 0,08 и 0,32 м.

v_C=\frac{v_{\text{верх}}+v_{\text{низ}}}{2},\qquad\omega=\frac{v_{\text{верх}}-v_{\text{низ}}}{2R}.

Система земли: вправо — плюс; положительное вращение — по часовой стрелке. $A$ и $B$ — текущие точки контакта. Золотая спица помогает видеть поворот. $I$ — мгновенный центр скоростей, не постоянный шарнир; $y_I=-\frac{v_C}{\omega}$ при $\omega\ne0$

R = 0,20 м. Скорости постоянны в пределах одного проигрывания; изменение ползунка — отдельный опыт. Проскальзывания нет. 0,08 с показаны за 4 с, движение замедлено в 50 раз. За пределами исходных 2 и −8 м/с исследуются демонстрационные режимы.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

Не считайте центр цилиндра неподвижным: скорости лент различаются.

Подсказка 2

Направьте ось вправо и обозначьте вращение по часовой стрелке положительным. Тогда $v_C+\omega R=2$ а $v_C-\omega R=-8$

Разобрать решение по шагам

Выберем знаки и систему отсчёта

Все скорости сначала измеряем относительно земли. Ось направим вправо. По исходному рисунку верхняя лента движется вправо: $v_{\text{верх}}=+2\,\text{м/с}$ ; нижняя влево: $v_{\text{низ}}=-8\,\text{м/с}$ .

Обозначим центр цилиндра через $C$ верхний контакт — через $A$ нижний — через $B$ Скорость центра $v_C$ пока неизвестна. Вращение по часовой стрелке условимся считать положительным. Радиус $R=20\,\text{см}=0{,}20\,\text{м}$ .

У каждой точки две части скорости

Перенос всего цилиндра добавляет каждой его точке одинаковую скорость $v_C$ Вращение даёт верхней точке скорость $\omega R$ вправо относительно центра, а нижней — такую же по модулю скорость влево. Поэтому

\begin{aligned}v_A&=v_C+\omega R,\\[0.3em]v_B&=v_C-\omega R.\end{aligned}

Проскальзывания нет: в месте касания точка цилиндра и лента движутся с одинаковой скоростью. Получаем два условия:

\begin{aligned}v_C+\omega R&=2\,\text{м/с},\\[0.3em]v_C-\omega R&=-8\,\text{м/с}.\end{aligned}

C — центр; A и B — верхняя и нижняя точки контакта. Золотым показаны перенос и вращение.

Вправо — положительное направление. $v_C$ направлена влево, $\omega$ — по часовой стрелке. В точках контакта $v_A=v_C+\omega R$ $v_B=v_C-\omega R$

Вычитанием уберём неизвестную скорость центра

Из первого равенства вычтем второе. Слагаемые $v_C$ сократятся, а два вращательных вклада сложатся:

2\omega R=2-(-8)=10\,\text{м/с}.

Следовательно,

\omega=\frac{10}{2\cdot0{,}20}\,\text{рад/с}=25\,\text{рад/с}.

Положительный знак означает выбранное вращение по часовой стрелке.

Проверим одновременно перенос и вращение

Теперь сложим два условия контакта: $2v_C=2+(-8)=-6\,\text{м/с}$ , откуда $v_C=-3\,\text{м/с}$ — центр движется влево. Вращательный вклад равен $\omega R=25\cdot0{,}20=5\,\text{м/с}$ .

Для верхней точки: $-3+5=2\,\text{м/с}$ Для нижней: $-3-5=-8\,\text{м/с}$ Оба контакта согласованы с лентами; фиксировать центр относительно земли было бы неверно.

Открыть модель к этому разбору ↑

Ответ

$25\,\text{рад/с}$ вращение по часовой стрелке.

Главная идея

Скорости верхней и нижней точек цилиндра состоят из общей скорости центра и противоположных скоростей вращения.

Как заметить эту идею в другой задаче

При контакте одного твёрдого тела с двумя движущимися поверхностями запишите две скорости контактов как сумму переноса и вращения.

Возможная ошибка

Считать центр неподвижным или использовать одну и ту же положительную скорость для лент, движущихся навстречу друг другу.

Источник и примечания

Официальный источник

PDF организатора · страницы 1 · задача 1 ↗

Шаг в будущее · 2025/26 · физика · 10 класс · отборочный этап · вариант 1.

Авторский разбор Popov Academy.

Примечания к источнику

При первом рендере условия на нижнем краю попал частичный фрагмент формулы после рисунка без видимого результата. Рамка исправлена до чтения официального ответа. Полностью слепая независимость для этой записи не утверждается.

Можете объяснить решение своими словами?

Продолжить тему: Кинематика →

Тема, знания и приёмы

Кинематика · Нужна школьная база

Сложение скоростей
Скорость точки при вращении
Отсутствие проскальзывания

Приёмы решения: Относительное движение

Задать вопрос по задаче →