Шаг в будущее 2025/26 · Физика · 10 кл., №6 — решение · отбор

Условие

Механическая система состоит из невесомого стержня длиной $L=40$ см, на концах и в середине которого закреплены три маленькие бусинки (см. рис.). Массы нижней и верхней бусинок известны и равны $m_1=20$ г и $m_3=50$ г, масса средней бусинки неизвестна. Стержень ставят вертикально на гладкий горизонтальный пол и отпускают без толчка. К моменту, когда верхняя бусинка коснется пола, нижняя бусинка сместится на расстояние $x=26$ см. Какую кинетическую энергию имеет средняя бусинка при ударе о пол? Ускорение свободного падения $g=10$ м/с $^2$ Ответ дайте в миллиджоулях (мДж), округлив его до целых.

Авторская схема исходного положения стержня: бусинки на концах и в середине, нижняя касается гладкого пола.

О задаче · 10 класс · 10 баллов

Олимпиада: Шаг в будущее
Предмет / класс: Физика · 10 класс
Сезон / этап: 2025/26 · Отборочный этап
Комплект: Вариант 1 · задача 6

Официальные баллы10 балловСумма максимумов по критериям: 100.

Сложность Popov Academy4/5 · предварительно

Для подготовки: 10 класс.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

Внешних горизонтальных сил нет. Что это означает для горизонтальной координаты центра масс?

Подсказка 2

Найдите массу средней бусинки из смещения нижней. Перед ударом сравните скорости средней и верхней бусинок и примените сохранение энергии.

Разобрать решение по шагам

Определим неизвестную массу по центру масс

Горизонтальных внешних сил нет: силы тяжести и реакция гладкого пола вертикальны. Поэтому горизонтальная координата центра масс $C$ остаётся неизменной. Пусть расстояние от нижней бусинки до $C$ вдоль стержня равно $c$ Изначально стержень вертикален и $C$ находится над нижней бусинкой. В конце стержень горизонтален: чтобы $C$ остался на прежней вертикали, нижняя бусинка должна сместиться на $c$ Значит, $c=x=0{,}26\,\text{м}$ Массы в формуле возьмём в килограммах:

0{,}26=\frac{0{,}20m_2+0{,}40\cdot0{,}050}{0{,}020+m_2+0{,}050}.

Покажем переход к массе:

\begin{aligned}0{,}26m_2+0{,}0182&=0{,}20m_2+0{,}020,\\[0.45em]0{,}06m_2&=0{,}0018,\\[0.45em]m_2&=0{,}030\,\text{кг}=30\,\text{г}.\end{aligned}

Речь о начавшемся падении после сколь угодно малого отклонения от вертикали. Строго вертикальное положение в идеальной модели — неустойчивое равновесие.

Определим скорости перед касанием пола

Когда стержень горизонтален, относительные скорости точек при вращении направлены вертикально. Все горизонтальные скорости одинаковы, а горизонтальная скорость центра масс равна нулю, поэтому они нулевые. Нижняя бусинка не имеет и вертикальной скорости из-за контакта с полом; в этот момент она покоится. Тогда $v_2=\omega L/2$ $v_3=\omega L$

Два положения показаны отдельно. В правой схеме C остаётся на исходной вертикали нижней бусинки; расстояние до её конечного положения равно x. Стрелки относятся к мгновению перед ударом, а не после него.

Распределим запасённую энергию

Считаем энергию непосредственно перед ударом, пока механическая энергия не потеряна при столкновении. Стержень невесом; потенциальная энергия нижней бусинки равна нулю, средней соответствует высота $L/2$ верхней — $L$

E=m_2g\frac L2+m_3gL=0{,}03\cdot10\cdot0{,}20+0{,}05\cdot10\cdot0{,}40=0{,}26\,\text{Дж}.

Нижняя бусинка в этот момент покоится. Кинетические энергии остальных пропорциональны произведениям массы на квадрат скорости. После сокращения общих $\omega^2/2$ получаем

\frac{K_2}{E}=\frac{m_2(L/2)^2}{m_2(L/2)^2+m_3L^2}=\frac{m_2}{m_2+4m_3}=\frac3{23}.

Следовательно,

K_2=0{,}26\cdot\frac3{23}\,\text{Дж}\approx0{,}033913\,\text{Дж}=34\,\text{мДж}

после округления. Делить энергию просто пропорционально массам нельзя: верхняя бусинка движется вдвое быстрее средней.

Ответ

$34$ мДж.

Главная идея

Смещение опоры определяет положение центра масс, а геометрия вращения определяет долю энергии каждой бусинки.

Как заметить эту идею в другой задаче

Падение системы по гладкому полу часто требует одновременно использовать горизонтальное сохранение импульса и закон сохранения энергии.

Возможная ошибка

Считать нижнюю бусинку неподвижной всё время или поровну поделить кинетическую энергию между массами.

Источник и примечания

Официальный источник

PDF организатора · страницы 6 · задача 6 ↗

Шаг в будущее · 2025/26 · физика · 10 класс · отборочный этап · вариант 1.

Авторский разбор Popov Academy.

Можете объяснить решение своими словами?

Продолжить тему: Энергия и импульс →

Тема, знания и приёмы

Энергия и импульс · Продвинутая подготовка

Центр масс системы точек
Кинетическая и потенциальная энергия
Скорости точек вращающегося стержня

Приёмы решения: Закон сохранения импульса · Закон сохранения энергии

Задать вопрос по задаче →