Шаг в будущее 2025/26 · Математика · 11 кл., №9

Условие

Диагонали прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ наклонены к плоскости основания $ABCD$ под углом $45^\circ$ На ребрах $AA_1$ и $CC_1$ выбраны точки $M$ и $N$ соответственно, причем $MA_1=2AM$ и $CN=2NC_1$ Найдите площадь сечения этого параллелепипеда плоскостью, которая проходит через точки $M$ и $N$ параллельно диагонали основания $BD$ и образует с диагональю $B_1D$ угол, равный $\arccos\sqrt{5/8}$ если расстояние от прямой $BD$ до этой плоскости равно 3.

Заданные точки M, N и сечение. Дополнительные точки разбора здесь не обозначены.

О задаче · 11 класс · 16 баллов

Олимпиада: Шаг в будущее
Предмет / класс: Математика · 11 класс
Сезон / этап: 2025/26 · Отборочный этап
Комплект: Вариант 1 · задача 9

Официальные баллы16 балловСумма максимумов по критериям: 98.

Сложность Popov Academy5/5 · предварительно

Для подготовки: 11 класс.

Исследуй задачу

Модель с пояснениями к решениюОткрыть модель

Есть пояснения и построения из решения. Открой, когда захочешь воспользоваться этой помощью.

Сечение и перпендикулярное расстояние

Фигура построена по условиям задачи. Переключайте построения: от секущей плоскости к её проекции и перпендикуляру длиной $3$

Видимость граней

Изменяются только ракурс, прозрачность и показываемые построения. Длины и углы из условия фиксированы. Автоматического вращения нет.

Точки $M,N$ лежат на противоположных вертикальных рёбрах. Направление $BD$ параллельно секущей плоскости.

Все статичные виды и пояснения

Данное сечение

Точки $M,N$ лежат на противоположных вертикальных рёбрах. Направление $BD$ параллельно секущей плоскости.

Высоты и проекция

Новые точки $Q,K$ находятся на половине высоты. Вся секущая фигура проектируется на прямоугольник $ABCD$

Расстояние по нормали

$O$ — середина $BD$ $H$ — основание перпендикуляра к секущей плоскости. $OH=3$ точка $H$ лежит на продолжении плоскости за гранью, а не обязательно внутри четырёхугольника.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

Пусть $h$ — высота, а $d$ — диагональ основания. Сначала используйте угол $45^\circ$ чтобы связать $h$ и $d$

Подсказка 2

Обозначьте угол секущей плоскости с основанием через $\alpha$ Горизонтальная составляющая диагонали $B_1D$ параллельна этой плоскости, поэтому её проекция на нормаль зависит только от вертикальной составляющей.

Разобрать решение по шагам

Определяем высоту сечения над диагональю BD

Обозначим стороны основания через $a,b$ высоту через $h$ Диагональ основания $d=\sqrt{a^2+b^2}$ Из угла наклона пространственной диагонали $45^\circ$ следует $h=d$ По условию $AM=h/3$ и $CN=2h/3$ Середина $MN$ находится над центром основания на высоте $h/2$ Поскольку секущая плоскость параллельна $BD$ над всей прямой $BD$ она проходит на одной высоте $h/2$ Обозначим точки пересечения плоскости с $BB_1$ и $DD_1$ через $Q$ и $K$ соответственно; на рисунке показан четырёхугольник $MQNK$

Q и K — пересечения с двумя другими вертикальными рёбрами. Отрезок длины 3 идёт по нормали к секущей плоскости; его конец лежит на продолжении сечения за передней гранью. Это продолжение показано светлой полосой.

Находим наклон секущей плоскости

Пусть её угол с основанием равен $\alpha$ а заданный угол с $B_1D$ — $\beta$ Длина $B_1D$ равна $h\sqrt2$ Горизонтальная составляющая этой диагонали параллельна $BD$ а значит, секущей плоскости. Поэтому длина проекции диагонали на перпендикуляр к секущей плоскости равна проекции вертикальной составляющей, то есть $h\cos\alpha$ Следовательно,

\sin\beta=\frac{h\cos\alpha}{h\sqrt2}=\frac{\cos\alpha}{\sqrt2}.

Из $\cos^2\beta=5/8$ получаем $\sin^2\beta=3/8$ откуда $\cos\alpha=\sqrt3/2$ и $\tan\alpha=1/\sqrt3$

Восстанавливаем высоту и площадь основания

Расстояние от $BD$ до секущей плоскости равно вертикальному промежутку $h/2$ умноженному на $\cos\alpha$ Поэтому

3=\frac h2\cdot\frac{\sqrt3}{2},\qquad h=4\sqrt3.

В треугольнике $ABD$ высота к гипотенузе $BD=d=h$ равна $ab/h$ поскольку его площадь $ab/2$ Точки $A,C$ находятся по разные стороны $BD$ на одинаковом расстоянии $ab/h$ Значит, горизонтальная проекция $AC$ на направление, перпендикулярное $BD$ имеет длину $2ab/h$ При переходе от $M$ к $N$ высота меняется на $h/3$ поэтому

\tan\alpha=\frac{h/3}{2ab/h}=\frac{h^2}{6ab}.

Отсюда $ab=h^2/(2\sqrt3)=8\sqrt3$

В модели $O$ обозначает середину $BD$ а $H$ — основание перпендикуляра к секущей плоскости. Поэтому заданное расстояние — это $OH=3$ а не вертикальный отрезок длиной $h/2$

Переходим к площади сечения

Плоскость пересекает четыре вертикальных ребра на высотах $h/3$ $h/2$ $2h/3$ $h/2$ лежащих между $0$ и $h$ Поэтому проекция сечения занимает весь прямоугольник основания. Если площадь сечения равна $S$ то