Шаг в будущее 2025/26 · Математика · 11 кл., №2

Условие

Уравнение $f(x)=0$ где $f(x)=x^2+px+q$ имеет ровно одно действительное решение, а уравнение $f(f(f(x)-2025)-2025)=0$ имеет ровно три различных действительных решения. Найдите решения уравнения $f(f(f(x)-2025)-2025)=0$ В ответ запишите сумму найденных решений.

О задаче · 11 класс · 5 баллов

Олимпиада: Шаг в будущее
Предмет / класс: Математика · 11 класс
Сезон / этап: 2025/26 · Отборочный этап
Комплект: Вариант 1 · задача 2

Официальные баллы5 балловСумма максимумов по критериям: 98.

Сложность Popov Academy3/5 · предварительно

Для подготовки: 11 класс.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

Квадратный трёхчлен со старшим коэффициентом $1$ и единственным действительным корнем можно записать как $(x-s)^2$

Подсказка 2

Обозначьте $t=s+2025$ Вложенное уравнение сведётся к $((x-s)^2-t)^2=t$ Исследуйте знаки $t\pm\sqrt t$

Разобрать решение по шагам

Записываем функцию через её корень

Пусть $s$ — единственный корень $f(x)=x^2+px+q$ Квадратичная функция со старшим коэффициентом $1$ и одним корнем имеет вид $f(x)=(x-s)^2$ Разворачивать всю четвёртую/восьмую степень не нужно: снимаем внешние функции по одной. Внешнее $f(u)=0$ требует $u=s$ поэтому

f\bigl(f(x)-2025\bigr)-2025=s,\qquad f\bigl(f(x)-2025\bigr)=s+2025.

Введём $t=s+2025$ Подставим формулу $f(v)=(v-s)^2$ сначала во внешнюю оставшуюся функцию, затем во внутреннюю:

\begin{aligned}\bigl(f(x)-2025-s\bigr)^2&=t,\\[0.45em]\bigl((x-s)^2-t\bigr)^2&=t.\end{aligned}

Так сложное вложенное уравнение стало уравнением для квадрата $(x-s)^2$

Считаем корни по случаям

При $t<0$ решений нет; при $t=0$ есть только $x=s$ При $t>0$ уравнение равносильно двум случаям

(x-s)^2=t+\sqrt t\quad\text{или}\quad(x-s)^2=t-\sqrt t.

Первая правая часть положительна и даёт два корня. Если $0<t<1$ вторая отрицательна; если $t>1$ — положительна и даёт ещё два других корня. Ровно три различных корня возможны только при $t=1$ когда вторая правая часть равна нулю.

Значение $t$	Первая ветвь	Вторая ветвь	Различных $x$
$t<0$	Квадрат не равен отрицательному числу	—	$0$
$t=0$	$(x-s)^2=0$	Та же ветвь	$1$
$0<t<1$	$t+\sqrt t>0$	$t-\sqrt t<0$	$2$
$t=1$	$(x-s)^2=2$	$(x-s)^2=0$	$3$
$t>1$	$t+\sqrt t>0$	$t-\sqrt t>0$	$4$

Находим решения и сумму

Из $s+2025=1$ следует $s=-2024$ При $t=1$ имеем $(x-s)^2=2$ или $(x-s)^2=0$ Поэтому

x=-2024-\sqrt2,\quad x=-2024,\quad x=-2024+\sqrt2.

Их сумма равна $3\cdot(-2024)=-6072$

Ответ

Корни: $-2024-\sqrt2$ $-2024$ $-2024+\sqrt2$ Ответ: $-6072$

Главная идея

Единственный корень исходной квадратичной функции позволяет превратить композицию в последовательное извлечение квадратных корней.

Как заметить эту идею в другой задаче

Дано число различных корней композиции: считайте, сколько решений создаёт каждая ветвь обратного перехода.

Возможная ошибка

Нулевой правой части уравнения $(x-s)^2=u$ соответствует один корень, положительной — два, отрицательной — ни одного.

Источник и примечания

Официальный источник

PDF организатора · страницы 2 · задача 2 ↗

Шаг в будущее · 2025/26 · математика · 11 класс · отборочный этап · вариант 1.

Авторский разбор Popov Academy.

Можете объяснить решение своими словами?

Продолжить тему: Функции и графики →

Тема, знания и приёмы

Функции и графики · Продвинутая подготовка

Понятие функции и графика
координатная плоскость

Приёмы решения: Удачная подстановка или замена · Разбор случаев

Задать вопрос по задаче →